Détermination d'un polynôme

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1998 - série 1)

Enoncé:

Déterminer le (ou les) polynômes P(x) du 4^ème degré tel(s) que:

- P(x) est un carré parfait (en ce sens qu'il est le carré d'un certain polynôme);

- Le polynôme (P(x)-P(-x)) est égal (identiquement) à

- Le polynôme

est divisible par (x-1).

Résolution

Puisque P(x) est du 4^ème degré et qu'il est le carré d'un polynôme, il est le carré d'un polynôme du second degré. On peut donc écrire:

Calculons P(x)-P(-x):

Nous utilisons la formule de la différence de deux carrés:

On a

Comme P(x)-P(-x) est identiquement égal à ce dernier polynôme, on en déduit que:

Isolons b dans la première égalité, et remplaçons-le dans la seconde:

P(x) s'écrit alors:

Il reste à exploiter la dernière donnée. Soit

Puisque Q(x) est divisible par (x-1), nous appliquons la loi du reste:

Puisque a est non nul (sinon P(x) ne serait pas du 4^ème degré), nous multiplions des deux membres de cette égalité par a:

Si a = 1:

Si a = -1:

Nous observons que les signes des polynômes se trouvant sous le carré sont opposés dans chacune des solutions, et donc qu'il n'y a qu'un seul polynôme répondant à toutes les conditions:

Développons le carré en employant l'identité remarquable adéquate:

Rappels de cours concernant cette question:

Egalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients respectifs des termes de même degré sont égaux.

Par exemple:

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Identités remarquables employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q34)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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