Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998 - série 1)

Enoncé:

Résoudre, dans les nombres réels, le système d'équations que voici:

Résolution

Conditions d'existence:

Exploitons d'abord la première équation. Exprimons les logarithmes en base 4 et 2 en fonction des logarithmes népériens:

Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes népériens:

L'équation devient:

Réduisons tous les termes au même dénominateur puis multiplions les deux membres par celui-ci:

Utilisons successivement la troisième puis la deuxième règle de calcul:

Le système est équivalent à celui-ci:

Travaillons maintenant la deuxième équation dans laquelle nous remplaçons y par son expression tirée de la première:

Factorisons le premier membre par mise en évidence puis par groupement:

Ce produit est nul pour les valeurs suivantes de x:

Mais seules les valeurs strictement positives de x peuvent être prises en compte (voir les conditions d'existence). Le système est équivalent à:

L'ensemble des solutions est donc constitué des deux couples:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

• définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

• lien avec le logarithme népérien:

Rappels sur les logarithmes népériens

• définition:

• règles de calcul:

• principe d'équivalence:

Règle du produit nul

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q33)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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