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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998 -
série 1)
Enoncé:
Résoudre, dans les nombres réels, le système d'équations que voici:
Résolution
Conditions d'existence:
Exploitons d'abord la première équation. Exprimons les logarithmes en base
4 et 2 en fonction des logarithmes népériens:
Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes népériens:
L'équation devient:
Réduisons tous les termes au même dénominateur puis multiplions les deux membres
par celui-ci:
Utilisons successivement la troisième puis la deuxième règle de calcul:
Le système est équivalent à celui-ci:
Travaillons maintenant la deuxième équation dans laquelle nous remplaçons
y par son expression tirée de la première:
Factorisons le premier membre par mise en évidence puis par groupement:
Ce produit est nul pour les valeurs suivantes de x:
Mais seules les valeurs strictement positives de x peuvent être prises en
compte (voir les conditions d'existence). Le système est équivalent à:
L'ensemble des solutions est donc constitué des deux couples:
Rappels de cours concernant cette
question:
 |
Rappels
sur les logarithmes en base a quelconque |
a étant un réel strictement positif et différent de 1:
|
|
Rappels
sur les logarithmes népériens |
|
|
Règle du produit nul |
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q33)
Le formulaire des
identités remarquables
identités remarquables (formules
de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de
Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Division euclidienne des
polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul
du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un
polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité,
méthode de Hörner
Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique,
propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux
bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base
a quelconque:
définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine
de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle
de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)
Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des
logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des
exemples
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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