Résolution et discussion d'une équation rationnelle avec un paramètre

Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 1998)

Enoncé:

Résoudre dans R, en discutant par rapport au paramètre réel a, l'équation:

Résolution

1^er cas:

L'équation se réduit à:

Cette équation est impossible.

2^ème cas:

L'équation est équivalente à:

Conditions d'existence:

Réduisons tous les termes au même dénominateur puis multiplions les deux membres par celui-ci:

Rassemblons dans un membre les termes en x et les autres dans le deuxième membre:

Pour calculer x, il faut diviser les deux membres par a(a+1), ce qui demande une discussion:

1^er cas:

Cette solution vérifie-t-elle les conditions d'existence?

Cette condition est vérifiée pour toute valeur de a non nulle et différente de 1.

Cette condition n'est vérifiée que pour a différent de ½.

Ce qui signifie que pour cette valeur de a, la seule solution trouvée pour x doit être rejetée.

2^ème cas:

L'équation devient:

Cette équation est impossible.

Résumé de la résolution:

Rappels de cours concernant cette question:

Principes d'équivalence des équations

Principe d'addition

Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.

Principe de multiplication

Lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.

Méthode de résolution d'une équation fractionnaire

Ecrire les conditions d’existence.

Réduire les fractions au même dénominateur.

Multiplier les deux membres par ce dénominateur commun (application du principe de multiplication) ce qui revient à supprimer ce dénominateur commun.(Remarquons que cette opération modifie le domaine de l’équation et donc que l’équation obtenue contient peut-être des solutions étrangères)

Résoudre l’équation obtenue.

Sélectionner les solutions qui vérifient les conditions d’existence.

Méthode de résolution d'une équation du premier degré

En appliquant le principe d’addition, on ramène tous les termes contenant l’inconnue dans l’un des membres et les autres termes dans l’autre membre.
Puis en appliquant le principe de multiplication, on divise les deux membres par le coefficient de l’inconnue. Si ce coefficient contient un paramètre, il faut envisager le cas où ce coefficient est nul et le cas où il est non nul

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q30)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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