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Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Septembre 1998)

Enoncé:

On donne l'équation:

On demande de déterminer k (réel) sachant que la somme de 2 racines de l'équation est égale à la somme des 2 autres racines, puis de résoudre dan R l'équation obtenue après avoir remplacé k par la valeur trouvée.

Résolution

Détermination de k

Appelons P(x) le polynôme du premier membre de l'équation.

Puisque P(x) admet 4 racines, on peut l'écrire sous la forme d'un produit de deux trinômes du second degré:

La somme des racines du premier trinôme est égale à la somme des racines du second trinôme donc:

D'où:

Effectuons le produit des 2 trinômes et regroupons les termes suivant les puissances de x:

Le polynôme obtenu étant identiquement égal au polynôme initial, les coefficients respectifs des termes de même degré sont égaux:

Nous obtenons la valeur de m dans la première équation et nous la remplaçons dans les autres:

Réponse: k=18

Résolution de l'équation

Pour résoudre l'équation, nous allons utiliser la forme factorisée du premier membre. Pour cela, nous devons trouver la valeur de s et de p. Nous devons donc trouver 2 nombres dont la somme est 2 et le produit –3: il s'agit de 3 et de –1.

Ce sont deux équations du second degré.

Résolvons la première équation:

Les solutions sont:

Résolvons la deuxième équation:

Les solutions sont:

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation donnée est:

Rappels de cours concernant cette question:

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Racines d'une expression du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

 Propriétés de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré

Dans le cas où l'expression du second degré

admet deux racines x1 et x2, leur somme est :

et leur produit est:

 Zéros d'une expression et règle du produit nul

Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Règle du produit nul:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q28)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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