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On donne l'équation:
On demande de déterminer k (réel) sachant que la somme de 2 racines de l'équation est égale à la somme des 2 autres racines, puis de résoudre dan R l'équation obtenue après avoir remplacé k par la valeur trouvée.
Détermination de k
Appelons P(x) le polynôme du premier membre de l'équation.
Puisque P(x) admet 4 racines, on peut l'écrire sous la forme d'un produit de deux trinômes du second degré:
La somme des racines du premier trinôme est égale à la somme des racines du second trinôme donc:
D'où:
Effectuons le produit des 2 trinômes et regroupons les termes suivant les puissances de x:
Le polynôme obtenu étant identiquement égal au polynôme initial, les coefficients respectifs des termes de même degré sont égaux:
Nous obtenons la valeur de m dans la première équation et nous la remplaçons dans les autres:
Réponse: k=18
Résolution de l'équation
Pour résoudre l'équation, nous allons utiliser la forme factorisée du premier membre. Pour cela, nous devons trouver la valeur de s et de p. Nous devons donc trouver 2 nombres dont la somme est 2 et le produit –3: il s'agit de 3 et de –1.
Ce sont deux équations du second degré.
Résolvons la première équation:
Les solutions sont:
Résolvons la deuxième équation:
Les solutions sont:
Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation donnée est:
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Division d'un polynôme par x - a |
Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a
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Racines d'une expression du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution
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Propriétés de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré |
Dans le cas où l'expression du second degré
admet deux racines x1 et x2, leur somme est :
et leur produit est:
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Zéros d'une expression et règle du produit nul |
Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur
de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x)
= 0.
Règle du produit nul:
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q28)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitRésolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueDivision euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de HörnerLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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Cours de soutien scolaire
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Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
bureautique, de gestion/finance en ligne.
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