Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes:

Transformons les logarithmes de l'équation en fonction du logarithme népérien:

Appliquons la première règle de calcul des logarithmes:

Nous en déduisons:

Posons

L'équation donnée devient:

Nous obtenons une équation du second degré en t. Calculons son réalisant:

Les solutions sont:

(la condition d'existence est bien vérifiée)

Cette dernière équation est impossible.

(

est strictement positif quel que soit le réel x)

L'équation initiale n'admet donc pas d'autre solution.

Conclusion:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

• définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

• règles de calcul:

• lien avec le logarithme népérien:

Principe d'équivalence

Résolution d'une équation avec des logarithmes

Après avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes afin d’appliquer le principe d’équivalence.

On obtient ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.

Enfin, on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions de l’équation initiale.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q24)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Résolution d'une équation avec des exponentielles
(référence F22)
Méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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