Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes:
Transformons les logarithmes de l'équation en fonction du logarithme népérien:
Appliquons la première règle de calcul des logarithmes:
Nous en déduisons:
Posons
L'équation donnée devient:
Nous obtenons une équation du second degré en t. Calculons son réalisant:
Les solutions sont:
(la condition d'existence est bien vérifiée)
Cette dernière équation est impossible.
| ( |
|
est strictement positif quel que soit le réel x)
|
L'équation initiale n'admet donc pas d'autre solution.
Conclusion:
Rappels de cours concernant cette question:
|
Rappels
sur les logarithmes en base a quelconque |
a étant un réel strictement positif et différent de 1:
|
|
Principe
d'équivalence |
|
|
Résolution
d'une équation avec des logarithmes |
Après
avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul
on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes afin d’appliquer le
principe d’équivalence.
On obtient
ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.
Enfin,
on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions
de l’équation initiale.
|
|
Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré
|
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r >
0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation
admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 ,
l'équation n'admet pas de solution
A
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Cette
question résolue
(référence : Q24)
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