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Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998)

Enoncé:

Résoudre dans R², en discutant par rapport au paramètre réel a, le système

Résolution

Isolons y dans la première équation et remplaçons-le dans les deux autres:

Discutons par rapport  à la troisième équation:

1er cas:

La troisième équation devient:

Cette équation étant impossible, le système l'est également:

2ème cas:

La troisième équation donne alors:

Revenons au système; remplaçons-y la valeur trouvée de x.

La deuxième équation ne contient plus d'inconnue:  c'est la condition de compatibilité du système. Le système n'admet des solutions que pour les valeurs de a vérifiant cette égalité.

Résolvons donc cette équation. Nous multiplions d'abord les deux membres par 1-2a afin de faire disparaître le dénominateur:

Rassemblons tous les termes dans le premier membre et factorisons celui-ci en mettant le facteur 1-a en évidence:

Le système n'admet donc de solutions que pour ces trois valeurs de a.

Reprenons le système et remplaçons-y a par 1. On obtient:

Le système admet le couple (2,-1) comme solution.

Le système admet le couple comme solution.

Le système admet le couple (-1,-1) comme solution.

Synthèse:

Si
Si
Si
Si

Autre méthode

Puisque ce système contient 3 équations à 2 inconnues, nous allons d'abord extraire un sous-système de 2 équations à 2 inconnues et le résoudre en discutant chacun des cas (nous utiliserons la méthode des déterminants qui convient particulièrement bien lorsqu'on doit résoudre un système de n équations à n inconnues à paramètres).

Pour que la solution obtenue soit la solution du système donné, il faut qu'elle vérifie toutes les équations du système donné;  par conséquent, nous remplacerons la solution obtenue dans l'équation que nous avions laissé de côté. Nous pourrons alors vérifier si celle-ci peut être conservée ou rejetée.

Extrayons un système de 2 équations à 2 inconnues du système donné, par exemple celui constitué des deux premières équations:

Résolvons ce sous-système et appelons S1 l'ensemble de ces solutions.

Déterminant du système:

Discussion:

1er cas:

Cette solution est la solution du système donné si et seulement si elle vérifie la dernière équation. Nous remplaçons donc x et y dans la dernière équation du système donné:

Si
Si

2ème cas:

Le sous-système devient:

Le système donné dans l'énoncé est équivalent au système suivant:

3ème cas:

Le sous-système devient:

Il est impossible et l'ensemble des solutions est donc:

Synthèse

Si
Si
Si
Si

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

 

Calculer de déterminant D du système:

1er cas:

Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire Ny et Nz:

Le système admet une solution unique, le triplet:

2ème cas:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

Calcul du déterminant d'une matrice

       Déterminant 2x2 (définition)

 

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q23)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminant
(référence F20)

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