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Examen d'admission Université de
Liège (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 1998)
Enoncé:
Donner la forme algébrique des racines cubiques de 2+2i.
Représenter ces racines dans le plan de Gauss.
Donner la valeur de leur produit.
Résolution
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Calcul des racines cubiques de 2+2i |
Recherchons d'abord la forme trigonométrique 2+2i:
(2+2i se trouve dans le premier quadrant)
Les racines cubiques de 2+2i sont les complexes
tels que:
On en déduit:
Le complexe 2+2i admet 3 racines cubiques z1,z2 et z3:
Pour k=0
Pour k=1
Pour k=2
Pour donner la forme algébrique de ces racines, nous devons calculer le cosinus
et le sinus de leur argument.
Pour le calcul de z1, nous décomposons l'argument en une différence
de deux angles dont nous connaissons les valeurs particulières de leurs sinus
et cosinus. Nous pouvons alors employer les formules de trigonométrie.
D'où:
Pour le calcul de z3, nous utilisons un procédé similaire à celui
employé pour z1.
On obtient:
Conclusion: les racines cubiques de 2+2i sous forme algébriques sont:
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Représentation
des racines cubiques de 2+2i dans le plan de Gauss. |
Il est plus simple de considérer leur forme trigonométrique.
Puisque leur module est identique pour les trois racines, elle sont situées
sur le cercle de centre o.
| Le rayon du cercle est |
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Calcul de leur produit |
Ici aussi, il est plus simple de calculer leur produit sous forme trigonométrique:
Rappels de cours concernant cette question:
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Forme trigonométrique
d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |
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| si a<0, alors |
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Propriétés:
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Racines nèmes
d'un nombre complexe |
Considérons un nombre complexe non nul écrit sous sa forme trigonométrique:
Chercher ses racines nèmes, c'est déterminer les complexes
tels que:
c'est-à-dire:
| Les racines nèmes du complexe |
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sont donc de la forme:
|
Tout complexe non nul possède donc n racines nèmes,
obtenues en donnant à k successivement les valeurs 0, 1, 2, ...., n-1.
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Valeurs particulières
des nombres trigonométriques |
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Rappel de formules de
trigonométrie |
A télécharger: format
Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q22)
Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
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