Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Septembre 1998)

Enoncé:

Résolution

Pour résoudre ce système, nous utilisons la méthode des déterminants ou méthode de Cramer.

Calcul du déterminant du système:

Pour cela, nous faisons apparaître un zéro dans la première colonne en soustrayant la troisième ligne de la deuxième:

Faisons apparaître encore un zéro dans cette colonne en soustrayant la troisième ligne après l'avoir multipliée par 2a de la première:

Calculons maintenant D en développant suivant la première colonne:

Factorisons le facteur du second degré et pour cela calculons ses racines:

On obtient:

Discussion du système

1er cas:

Calcul de x:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître un zéro supplémentaire dans la première colonne en ajoutant à la première ligne, la troisième après l'avoir multipliée par 3a²:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la première colonne:

Nous retrouvons le même facteur du second degré que lors du calcul de D. On a donc:

D'où:

Calcul de y:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître un zéro supplémentaire dans la deuxième colonne en ajoutant à la première ligne, la troisième après l'avoir multipliée par 3a²:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la deuxième colonne:

D'où:

Calcul de z:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître un zéro supplémentaire dans la troisième colonne en ajoutant à la première ligne, la troisième après l'avoir multipliée par 3a².

Calculons le déterminant en le développant par rapport à la troisième colonne:

Nous observons que ce polynôme s'annule pour

Il est donc divisible par

2ème cas:

Le système donné devient:

Remplaçons x par sa valeur tirée de la première équation dans les deux autres:

Les deux dernières équations sont équivalentes, donc le système est équivalent au système de deux équations à 3 inconnues ci-dessous:

Exprimons z en fonction de y dans la deuxième équation:

Le système est simplement indéterminé et l'ensemble des solutions peut s'exprimer:

Le système donné devient:

Isolons x dans la deuxième équation et remplaçons-le par cette expression dans les deux autres équations:

En observant la première et la troisième équation, on voit immédiatement que ce système est impossible:

Rappels de cours concernant cette question:

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

Calculer de déterminant D du système:

Calculer N_x, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire N_y et N_z:

Le système admet une solution unique, le triplet:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

       Déterminant 2x2 (définition)

       Déterminant 3x3

Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.

Définitions préalables

Le mineur d'un élément a_ij, noté M_ij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément a_ij) dans le tableau donné.

Exemple: le mineur de l'élément a₂₃ est:

Le cofacteur d'un élément a_ij, noté A_ij est donné par la formule:

Propriété préalable à la définition de déterminant

La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice. 

On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :

Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.

Propriétés facilitant le calcul d'un déterminant

Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.

Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.

Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas

En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque ci-dessus).

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si ρ  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si ρ= 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si ρ < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Factorisation de l'expression du second degré

-         si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x₁ et x₂ (voir ci-dessus) et

-         si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x₁et

-         si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q20)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminant
(référence F20)

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