Calcul d'une limite avec une racine carrée

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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune – Algèbre Analyse Géométrie Trigonométrie – Question 11 (série 3 - 2009)

Enoncé:

Calculer

Résolution:

Bien que cela ne soit pas indispensable, recherchons le domaine de définition de la fonction afin de vérifier que la limite demandée a un sens.

Les conditions de l'expression sont:

Le domaine de définition de la fonction est donc:

Nous constatons que la limite demandée a effectivement un sens puisque x peut prendre des valeurs aussi proches que l'on veut de -2 (excepté -2 lui-même), aussi bien par valeurs plus petites que -2 que par valeurs plus grandes que -2.

Pour se donner une idée de cette limite, commençons par remplacer x par -2 dans l'expression: nous obtenons une indétermination du type .

Rappelons que est une notation, que cela ne signifie pas que 0 est divisé par 0 (ce qui n'existe pas), mais que nous sommes en présence d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0 lorsque x tend vers -2.

Pour lever cette indétermination, nous devons employer la méthode adéquate à l'expression en présence. Ici le dénominateur est une différence de deux termes dont l'un est une racine carrée. Dans ce cas nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué du dénominateur (le binôme conjugué de a - b est a + b et inversement):

Au dénominateur, nous appliquons la formule (produit remarquable): . Quant au numérateur, nous le gardons sous sa forme factorisée:

Nous constatons que le numérateur est l'opposé du facteur (x +2) et que nous pouvons donc simplifier la fraction par ce facteur et ainsi lever l'indétermination:

Il suffit maintenant de remplacer x par -2 pour obtenir la limite demandée:

Rappels de cours concernant cette question:

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Calcul de la limite d'une fraction en un réel a

* Si f(x) est une fraction dont le dénominateur s'annule pour x = a, mais pas le numérateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

* Si f(x) est une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux pour x = a, on lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital.

Dans le cas d'une fraction de polynômes, on peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par x-a puis calculer la limite en a de la fraction simplifiée obtenue.

Dans le cas d'une fraction où le numérateur ou le dénominateur est une somme ou une différence dont l'un des termes est une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée puis on simplifie la fraction obtenue.

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q199)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0 . infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

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