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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune – Algèbre Analyse Géométrie Trigonométrie – Question 10 (série 3 - 2009)

Enoncé:

Calculer l'équation de la droite passant par le point A(1,3) et tangente à la parabole d'équation

Résolution

Première méthode : méthode utilisant les équations

Soit m le coefficient angulaire de la droite demandée. Puisqu'elle passe par le point A, l'équation de la droite a la forme:

La droite étant tangente à la parabole, nous devons trouver m de telle sorte que la droite et la parabole n'aient qu'un seul point commun.

Ce qui nous conduit à calculer les points d'intersection de cette droite et de cette parabole en résolvant le système formé par les équations de celles-ci.

Nous pouvons résoudre ce système par substitution en isolant y dans la première équation puis en remplaçant y dans la seconde équation par l'expression obtenue:

Résolvons séparément la seconde équation (par rapport à x) : rassemblons tous les termes dans un seul membre et regroupons les termes suivant les puissances de x:

Il s'agit d'une équation du second degré. Calculons son discriminant:

Puisque la droite est tangente à la parabole, elle a un et un seul point commun avec la parabole, et par conséquent, le système doit avoir une et une seule solution. On en déduit que le discriminant doit être nul et donc que m = 0.

L'équation de la droite est alors:

Vérification graphique (non demandée)

NB: le point A donné est le sommet de la parabole.

Deuxième méthode : méthode utilisant la dérivée

Voyons d'abord si le point A(1,3) est un point de la parabole. Pour cela, nous remplaçons x et y dans l'équation de la parabole par les coordonnées de A:

La réponse étant oui, nous pouvons calculer le coefficient angulaire de la droite tangente à la parabole puisqu'il est le nombre dérivé de la fonction en 1 (l'abscisse de A).

Calculons la dérivée de la fonction:

Le nombre dérivé en 1 est:

Nous en déduisons que le coefficient angulaire de la tangente à la parabole au point A(1,3) est nul. La droite est donc parallèle à l'axe des abscisses et son équation est :

Rappels de cours concernant cette question:

Equations des droites dans un repère cartésien

Equation d'une droite de coefficient angulaire m et passant par le point A(xA,yA):

 Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, on résout l'équation f(x) = g(x).

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son discriminant :

- si , l'équation admet deux solutions :

- si , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si , l'équation n'admet pas de solution

 Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

f ' (a) est appelé le "nombre dérivé de f en a" et est obtenu en remplaçant x par a dans la dérivée de la fonction.

 Formules des dérivées employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q197)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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