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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune – Algèbre Analyse Géométrie Trigonométrie – Question 10 (série 1 - 2009)

Enoncé:

Démontrer que le cercle de rayon R = 2 et de centre M (2,0) est tangent à la droite d'équation

Résolution

Première méthode : méthode utilisant les distances

Nous savons qu' une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance de cette droite au centre du cercle est égale au rayon du cercle.

Nous pouvons représenter les données dans le plan, mais ce n'est pas obligatoire pour résoudre ce problème, et cela n'est pas suffisant pour répondre à la question (une représentation n'est pas une preuve).

Pour représenter la droite, nous pouvons calculer deux points:

si x = 0 alors y = 1 : on obtient le point (0,1)

si x = 4 alors y = 4 : on obtient le point (4,4)

Calculons la distance du point M à la droite donnée. Pour cela transformons d'abord son équation sous la forme ax+by+c=0 :

Appliquons la formule de la distance entre un point et une droite:

La distance entre le centre M du cercle et la droite est 2 qui est bien le rayon du cercle. La droite est donc tangente au cercle.

Variante : si on ne connaît pas la formule de la distance entre un point et une droite, on peut trouver celle-ci en calculant la distance entre le point et le pied de la perpendiculaire à cette droite issue du point. On se ramène ainsi au calcul de la distance entre deux points.

On cherche d'abord l'équation de la droite passant par M et perpendiculaire à la droite donnée.

Le coefficient angulaire de la droite donnée est , donc le coefficient angulaire de la perpendiculaire étant l'opposé de l'inverse de celui-ci est .

L'équation de la perpendiculaire passant par M est:

Recherchons maintenant les coordonnées du pied de cette perpendiculaire, c'est-à-dire le point d'intersection entre cette perpendiculaire et la droite. Pour cela, nous résolvons le système formé par les équations des deux droites:

On peut dans ce cas procéder par substitution, c'est-à-dire remplacer y dans la deuxième équation, par l'expression tirée de la première:

Résolvons séparément la deuxième équation:

Calculons y en remplaçant x par la valeur trouvée dans la première équation:

Le pied de la perpendiculaire a pour coordonnées : .

La distance entre le centre M du cercle et la droite est la distance de M au point calculé ci-dessus. Calculons cette distance:

La distance entre le centre M du cercle et la droite est 2 qui est bien le rayon du cercle. La droite est donc tangente au cercle.

Deuxième méthode : méthode utilisant les équations de la droite et du cercle

Nous savons qu'une droite est tangente à un cercle si et seulement si elle a un seul point commun avec celui-ci.

Nous recherchons donc les points communs à la droite et au cercle en résolvant le système formé par les équations de la droite et du cercle.

L'équation de la droite est donnée et celle du cercle est:

Il s'agit donc de résoudre le système:

Procédons par substitution : remplaçons dans la deuxième équation y par l'expression tirée de la première:

Résolvons séparément la deuxième équation : nous effectuons les carrés et rassemblons tous les termes dans le membre de gauche:

Afin de simplifier l'équation, nous pouvons multiplier les deux membres par 16 :

Nous constatons que le membre de gauche est un carré parfait:

Calculons y en remplaçant x par la valeur trouvée dans la première équation:

L'ensemble des points d'intersection entre la droite est le cercle est l'unique point de coordonnée . La droite est donc tangente au cercle.

Remarque:

Si on n'a pas observé que le membre de gauche de l'équation obtenue est un carré parfait, on peut poursuivre en calculant le discriminant (ou réalisant) de cette équation:

On en déduit que l'équation n'admet qu'une seule solution:

On poursuit la résolution comme ci-dessus : on calcule y et on conclut.

Rappels de cours concernant cette question:

Distance entre un point et une droite dans un repère orthonormé

Si A est un point de coordonnée (xA,yA) et d est une droite d'équation ax+by+x=0, la distance D entre ce point et cette droite est calculée par la formule:

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Si A et B sont deux points de coordonnée respective (xA,yA) et (xB,yB), la distance entre ces deux points est donnée par la formule:

 Coefficients directeurs (ou coefficients angulaires) de deux droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Si d et d' sont deux droites de coefficients directeurs respectifs m et m':

d et d' sont perpendiculaires si et seulement si

Equations des droites dans un repère cartésien

Equation d'une droite de coefficient angulaire m et passant par le point A(xA,yA):

Equation du cercle dans un repère orthonormé

Si (xC , yC) est la coordonnée du centre, et r le rayon, le cercle a pour équation:

 Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, on résout l'équation f(x) = g(x).

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son discriminant :

- si , l'équation admet deux solutions :

- si , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q196)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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