Enoncé:

(Les proportions et les dimensions des triangles dessinés ne sont PAS représentatives!)

On donne le triangle ABC rectangle en , la hauteur , et Calculer

Résolution

Remarquons tout d'abord que les données du problème rendent celui-ci impossible.

En effet, le triangle ABC étant rectangle en C, les angles α et sont complémentaires. D'autre part, CD étant la hauteur du triangle ABC, le triangle CBD est rectangle en D et par conséquent les angles δ et sont également complémentaires.

On en déduit que les angles α et δ sont égaux, ce qui est impossible puisque leurs sinus sont donnés différents.

Par contre, on peut parfaitement résoudre ce problème si le triangle ABC n'est pas rectangle en C. C'est ce que nous allons développer ci-dessous.

Rappelons qu'il est interdit d'utiliser une calculatrice, donc nous ne pouvons calculer l'amplitude des angles. Ce problème se résout en utilisant les formules de trigonométrie.

Dans cette situation, on demande de calculer la longueur du côté [BD], qui fait partie du triangle CDB, rectangle en D et pour lequel nous ne connaissons qu'une information : le sinus de l'angle δ.

Nous devons donc calculer un autre côté de ce triangle. Le côté commun avec le triangle ACD, (pour lequel nous avons plus d'informations) est le côté [CD]. Nous allons donc commencer par calculer la longueur du côté [CD], en utilisant les données du triangle ACD, rectangle en D.

 Pour cela, nous allons utiliser la formule du sinus, puisque [CD] (longueur à calculer) est le côté opposé de l'angle α et [AC] (longueur donnée) est l'hypoténuse :

Revenons maintenant au triangle CDB. Nous allons utiliser la formule de la tangente de l'angle δ, puisque nous connaissons la longueur du côté adjacent [CD] et que nous voulons calculer la longueur du côté opposé [DB]:

Pour calculer la tangente de l'angle δ, nous utilisons la formule:

Pour calculer le cosinus de l'angle δ, nous utilisons la formule fondamentale:

On en déduit que

et donc la réponse à la question est:

Rappels de cours concernant cette question:

Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

Liens entre les nombres trigonométriques (formules fondamentales)

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q195)

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Cours de soutien scolaire

Les news de Techno-science.net

 

[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]

Hébergement de votre site  = 1,75 EUR/mois luxpixel.com