Enoncé:

Résoudre le système suivant et discuter du nombre de solutions en fonction du paramètre  :

Résolution

Le système admet une seule solution si et seulement si le déterminant est non nul. Calculons celui-ci:

1er cas:

Calculons la solution:

2ème cas:

Dans ce cas, le système devient:

Si nous multiplions chaque membre de la deuxième équation par 2, les deux équations sont identiques:

Et donc le système est équivalent à la seule équation :

Le système admet donc une infinité de solutions. On peut exprimer cet ensemble de solutions de la manière suivante:

Nous pouvons interpréter géométriquement ce système.

Chaque équation du système est représentée dans le plan par une droite.

Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection des deux droites.

Lorsque a varie, la position des droites change.

Si , les deux droites sont sécantes au point : le système admet une seule solution.

Si , les deux droites sont confondues : le système une infinité de solutions, les coordonnées de chaque point de cette droite.

Animation

Ci-dessous une animation (applet Java) réalisée à l'aide de Geogebra.

Visualisez la position des deux droites en faisant varier la valeur de a à l'aide du curseur.

Pour réinitialiser l'applet, cliquez sur l'icône dans le coin supérieur droit:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Rappels de cours concernant cette question:

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

Calculer de déterminant D du système:

Calculer N_x, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire N_y et N_z:

Le système admet une solution unique, le triplet:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

       Déterminant 2x2 (définition)

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip