Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1998)

Enoncé:

Résolution

a) L'équation donnée étant du second degré, calculons son réalisant:

Or

Le réalisant de cette équation est donc un réel strictement négatif. Il peut donc s'écrire:

Et les solutions de l'équation sont donc:

a et b étant deux nombres réels, les solutions sont des nombres complexes conjugués.

b) Calculons le module de ces solutions;
 

c) si

désigne l'argument de ces solutions, on a donc:

d'où:

Rappels de cours concernant cette question:

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de

c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

Un nombre complexe

s'écrit sous forme trigonométrique

ce qu'on note aussi plus brièvement

dans laquelle le module est

et l'argument se calcule ainsi

ce qui donne

si a>0, alors
si a<0, alors

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q19)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes -  représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

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