[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]


Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1998)

Enoncé:

Soient a et b deux nombres réels vérifiant l'inégalité 

a) Montrer que l'équation

possède deux solutions conjuguées.

b) Calculer le module de ces solutions.

c) Calculer le cosinus de l'argument de ces solutions.

Résolution

a) L'équation donnée étant du second degré, calculons son réalisant:

Or

Le réalisant de cette équation est donc un réel strictement négatif. Il peut donc s'écrire:

Et les solutions de l'équation sont donc:

a et b étant deux nombres réels, les solutions sont des nombres complexes conjugués.

b) Calculons le module de ces solutions;
 

c) si   *  désigne l'argument de ces solutions, on a donc:

d'où:

Rappels de cours concernant cette question:

Nombre complexe

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un nombre complexe

s'écrit sous forme trigonométrique

ce qu'on note aussi plus brièvement

dans laquelle le module est

et l'argument se calcule ainsi

ce qui donne

 si a>0, alors

si a<0, alors

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q19)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes -  représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe

Cours de soutien scolaire

ToutApprendre

 

Les news de Techno-science.net


 

 
 

 

[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]

 

Hébergement de votre site  = 39 euro/an luxpixel.com