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Examen d'admission Ecole Royale
Militaire (Belgique)- Epreuve commune – Algèbre Analyse Géométrie Trigonométrie – Question
6 (Série 3 2009)
Enoncé:
On donne la fonction:
Calculer l'aire comprise entre le graphe de la fonction f, l'axe des X et des
droites d'équation
et
.
Résolution:
Nous devons d'abord étudier le signe de la fonction sur l'intervalle
[0;4].
Recherchons d'abord ses racines et pour cela, calculons son réalisant:
Les racines sont:
Nous réalisons maintenant le tableau des signes de f:
Sur l'intervalle [0;3], la fonction est négative et l'aire
comprise entre le graphe de f et l'axe des X entre les droites
et
est:
Sur l'intervalle [3;4], la fonction est positive et l'aire
comprise ente le graphe de f et l'axe des X entre les droites
et
est:
Afin de calculer les deux intégrales définies, calculons
d'abord l'intégrale indéfinie de la fonction:
Calculons à présent les deux intégrales définies:
Finalement, l'aire demandée est :
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Racines
et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |
 |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |
 |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |
 |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes
les valeurs de x.
|
|
Calcul
d'une aire plane |
Si une fonction continue
sur un intervalle ne change pas de signe sur cet intervalle, l'aire de
la partie du plan délimitée par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses,
et les droites d'équation x = a et x = b est donnée par la formule:
|
|
Calcul d'une intégrale
définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que F‘ = f
|
|
Formule
des primitives employée dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(bientôt disponible)
(référence : Q189)
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
Comment étudier le signe d'une
expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du
second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme
ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle).
Exemples détaillés de tous ces cas.
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties,
intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules
employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions
de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales
définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir
celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail
et commentés - dossier de 29 pages
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