Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 1998)

Enoncé:

Résoudre l'inéquation:

Résolution

Recherchons d'abord le domaine de cette inéquation:

Conditions d'existence:

Le domaine peut donc s'écrire:

Etudions le signe des deux membres de l'inéquation:

   Le membre de droite est strictement positif

   Le signe du membre de gauche dépend du signe de x.

Divisons alors le domaine en deux parties, et résolvons cette inéquation dans chacune d'elle:

si x < 0

Le membre de gauche est strictement négatif, et celui de droite strictement positif.

Cette inéquation est donc vérifiée pour tout x < 0

si 0 < x < 2

Les deux membres sont strictement positifs.

On obtient une inéquation équivalente en élevant chacun de des membres au carré:

Nous obtenons une inéquation rationnelle que nous pouvons résoudre.

Ramenons tous les termes dans le même membre puis réduisons au même dénominateur:

Recherchons les racines de chaque facteur composant l'expression:

- le numérateur est une expression du second degré.

Calculons son réalisant:

Les racines du numérateur sont donc:

- racines des facteurs du dénominateur : 0 et 2

Réalisons le tableau de signes de l'expression:

Le tableau de signes nous indique que dans l'intervalle ] 0,2 [, l'inéquation admet comme ensemble de solutions l'intervalle :

Conclusion: L'ensemble des solutions est :

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

Domaine d'une expression, équation, inéquation...

Le domaine d'une expression est l'ensemble des réels pour lesquels elle peut être calculée.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de l'expression.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :  

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif ou nul.

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q18)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'une inéquation irrationnelle 
(référence : F18) 
méthode de résolution illustrée par un exemple

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Racines carrées d'un nombre réel
(référence : F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications

Comment étudier le signe d'une expression
(référence : F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence : F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression

 

 

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