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Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Trigonométrie – Question 2 (Juillet 2007)

Enoncé:

Montrer que si a, b, c sont des nombres positifs vérifiant,

alors l'expression

a une valeur indépendante de Ø. Trouver cette valeur.

Résolution

Pour plus de facilité, nous noterons A l'expression à calculer. Soit donc

Commençons par développer les carrés:

Afin de ne faire intervenir que cos Ø, nous utilisons la formule fondamentale, en exprimant sin²Ø en fonction de cos²Ø:

Nous remplaçons dans A:

Effectuons les calculs puis rassemblons les termes semblables:

Nous utilisons maintenant la donnée:

donc

Nous reconnaissons maintenant un carré parfait en dessous de chaque racine:

Nous pouvons maintenant simplifier les racines:

Afin d'éliminer les valeurs absolues, nous devons étudier le signe des expressions à l'intérieur de ces valeurs absolues. Nous savons que

Multiplions chacun des membres de l'inéquation par c, sachant qu'il est un nombre réel positif (donnée):

Additionnons le réel a à chaque membre:

Puisque c et a sont des réels positifs et que

nous en déduisons que

Par conséquent

L'expression dans la première valeur absolue est donc positive, et alors

Par un raisonnement similaire

et

entraîne que

L'expression dans la deuxième valeur absolue est donc négative et alors

Et finalement

La valeur de l'expression donnée vaut 2a et est donc bien indépendante de Ø. 

Rappels de cours concernant cette question:

Formules et propriétés employées dans cette question

Carré parfait:
Formule fondamentale:
Simplification de racine carrée:
Valeur absolue:
Valeur du cosinus:
Inégalité et addition:
Inégalité et multiplication:	si c est strictement positif si c est strictement négatif

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q175)

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

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