Examen d'admission Université libre de Bruxelles  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 2007)

Enoncé:

a) Déterminer les valeurs réelles des paramètres a, b, c pour que le polynôme

soit divisible par

b) Pour les valeurs des paramètres trouvées ci-dessus:

    3. factoriser P au maximum dans C; en déduire les racines complexes de ce polynôme et les représenter dans le plan de Gauss.

Résolution

a) Puisque

et que P(x) est divisible par , P(x) est donc divisible à la fois par 1 - x et par 1 + x.

    * P(x) est divisible par

    * P(x) est divisible par

Pour satisfaire les conditions de l'énoncé, les réels a, b et c doivent vérifier le système formé par les deux équations ci-dessus.

Ce système comportant 2 équations à 3 inconnues, il est indéterminé. Nous devons donc exprimer deux des paramètres en fonction du 3^ème.

De la deuxième équation, il vient:

Remplaçons maintenant b dans la première équation:

Les valeurs de a, b, et c satisfaisant les conditions de l'énoncé sont donc:

Dans ce cas, le polynôme s'écrit:

b)

    1. Calculons d'abord le quotient de P(x) par en utilisant la règle de Hörner:

    Le quotient de P(x) par est

    Le quotient de P(x) par est l'opposé du quotient obtenu, donc:

    2. D'après les résultats obtenus ci-dessus, nous pouvons déjà écrire une première factorisation de P(x):

    Puisque P(x) est aussi divisible par , nous calculons le quotient de la division du dernier facteur par en utilisant la règle de Hörner:

    Le quotient est donc:

    Et la factorisation de P(x) devient:

    Pour vérifier si le polynôme se factorise encore plus loin dans R, nous calculons le réalisant du dernier facteur qui est un facteur du second degré:

    Vu que le réalisant est strictement négatif, le polynôme du second degré ne se factorise pas et P(x) ne se factorise pas plus loin.

    3. Calculons les racines du polynôme du second degré dans C:

    La factorisation du facteur du second degré est:

    La factorisation de P(x) dans C est donc:

    et les racines complexes du polynôme sont:

    Représentation de ces racines dans le plan de Gauss:

Rappels de cours concernant cette question:

Division de deux polynômes

Diviser un polynôme P(x) (appelé le dividende) par un polynôme D(x) (appelé le diviseur), c'est déterminer les polynômes Q(x) (appelé de quotient) et R(x) (appelé le reste) tels que:

Lorsque R(x) = 0, on dit que le polynôme P(x) est divisible par le polynôme D(x). 

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Factorisation de l'expression du second degré dans l'ensemble des réels

-         si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x₁ et x₂ (voir ci-dessus) et

-         si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x₁et

-         si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.

Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de

c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

Factorisation de l'expression du second degré dans l'ensemble des complexes

Si x₁ et x₂ sont les racines complexes du trinôme,

Nombre complexe

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q174)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

 

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