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Pour quelle(s) valeurs(s) de
le système suivant (inconnues x et y) a-t-il
(a) une seule solution, (b) une infinité de solutions, (c) pas de solutions?
Le système admet une seule solution si et seulement si le déterminant est non nul. Calculons celui-ci:
Si a = -2, le système est:
Ce système n'admet pas de solution.
Conclusion:
(a) le système admet une seule solution si
(b) le système admet une infinité de solution pour aucune valeur de a
(c) le système n'admet aucune solution si
Nous pouvons interpréter géométriquement ce système.
Chaque équation du système est représentée dans le plan par une droite.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection des deux droites.
Lorsque a varie, la position des droites change.
Si
,
les deux droites sont sécantes en un point : le système admet une seule
solution.
Si
,
les deux droites sont parallèles distinctes : le système n'admet aucune
solution.
Animation
Ci-dessous une animation (applet Java) réalisée à l'aide de Geogebra.
Visualisez la position des deux droites en faisant varier la valeur de a à l'aide du curseur.
Pour réinitialiser l'applet, cliquez sur l'icône dans le coin supérieur droit:
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Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants |
La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.
La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.
Considérons le système suivant:
Calculer de déterminant D du système:
| 1er cas: |
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Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:
Calculer de façon similaire Ny et Nz:
Le système admet une solution unique, le triplet:
| 2ème cas: |
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Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.
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Calcul du déterminant d'une matrice |
Déterminant 2x2 (définition)
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
(bientôt disponible)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemplesRésolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)
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Cours de soutien scolaire
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