Examen d'admission Université Catholique de Louvain - Géométrie synthétique- Question 3 - Juillet 2007 - Série 1

Enoncé:

Un jeu de « poupées russes » est constitué de cubes et de sphères de différentes tailles qui s’emboîtent les uns dans les autres dans l’ordre suivant : cube qui entre dans une sphère qui elle-même entre dans un cube etc, pour terminer par une sphère.

Les sphères et les cubes sont tous dimensionnés de façon à avoir une taille maximale leur permettant d’entrer tout juste dans le volume plus grand (on néglige l’épaisseur des parois du cube et de la sphère).

On demande :

1. le rapport existant entre deux volumes de sphères successives (càd avec uniquement un cube intercalé) ;

2. le rapport existant entre le volume de la plus grande sphère et le volume du plus petit cube dans le cas d’un jeu à 5 cubes.

Résolution

1. Représentons une coupe du jeu de poupées russes (nous ne représentons que les 2 premiers cubes et les 2 premières sphères).

Appelons C₁ et C₂ les côtés respectifs du premier et du deuxièmes cube; de même soient R₁ et R₂ les rayons respectifs de la première et de la deuxième sphère.

Le rapport des volumes de deux sphères successives est:

Nous devons donc calculer le rapport des rayons des deux sphères.

Dans le triangle rectangle ABC:

De plus:

Nous en déduisons:

Et par conséquent:

2. Etant donné que le jeu commence par un cube et qu'il se termine par une sphère, un jeu comportant 5 sphères, comporte aussi 5 cubes.

Calculons d'abord le rapport du volume V du plus petit cube et du volume V₁ de la plus petite sphère:

Nous avons aussi:

Et en remplaçant nous obtenons:

Calculons maintenant le le rapport du volume V du plus petit cube et du volume V₅ de la plus grande sphère, sachant que le rapport entre les volumes de 2 sphères consécutives est constant, et qu'il a été calculé plus haut:

Rappels de cours concernant cette question:

Formules du volume du cube et de la sphère

Cube de côté C:
Sphère de rayon R:

Cosinus dans le triangle rectangle

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q172)

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