Application du binôme de Newton et nombres complexes

Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998)

Enoncé:

Calculer l'expression:

Vérifier le résultat obtenu pour n=9.

Suggestion: calculer

de deux façons différentes.

Résolution

D'une part, nous allons utiliser le binôme de Newton:

Puisque

on obtient:

(1)

D'autre part, écrivons le complexe 1 + i sous la forme trigonométrique.

- calculons son module:

- calculons son argument:

Donc:

Appliquons la propriété concernant la puissance d'un nombre complexe sous la forme trigonométrique:

(2)

En égalant les parties réelles des expressions obtenues en (1) et (2), on obtient:

Vérification pour n = 9. D'une part:

D'autre part:

Rappels de cours concernant cette question:

Formule du binôme de Newton

dans laquelle

Nombre complexe

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un nombre complexe

s'écrit sous forme trigonométrique

ce qu'on note aussi plus brièvement

dans laquelle le module est

et l'argument se calcule ainsi

ce qui donne

si a>0, alors
si a<0, alors

Propriété:

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q19)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

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