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Examen d'admission Université de
Liège (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1998)
Enoncé:
Calculer l'expression:
Vérifier le résultat obtenu pour n=9.
| Suggestion: calculer |
 |
de deux façons différentes. |
Résolution
D'une part, nous allons utiliser le binôme de Newton:
Puisque
on obtient:
(1)
D'autre part, écrivons le complexe 1 + i sous la forme trigonométrique.
- calculons son module:
- calculons son argument:
Donc:
Appliquons la propriété concernant la puissance d'un nombre complexe sous la
forme trigonométrique:
(2)
En égalant les parties réelles des expressions obtenues en (1) et (2), on obtient:
Vérification pour n = 9. D'une part:
D'autre part:
Rappels de cours concernant cette question:
|
|
Formule
du binôme de Newton |
dans laquelle
et
|
|
Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
|
|
Forme
trigonométrique d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |
 |
| si a<0, alors |
 |
Propriété:
à
télécharger: format Microsoft Word compressé au format
.zip
Cette question résolue
(référence : Q19)
Le formulaire des identités
remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi
que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications
pour construire celui-ci.
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
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