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Soit un triangle ABC, dont le côté BC est fixe et dont
la différence des longueurs des deux autres côtés
est constante (égale à k). On construit la bissectrice correspondant à l'angle
en A. On mène ensuite une perpendiculaire à cette bissectrice passant par le
sommet C. On appelle M1 l'intersection de cette perpendiculaire avec
le côté AB et M2 l'intersection de la perpendiculaire avec la
bissectrice. On demande:
(1) de dessiner proprement et rigoureusement (ex. construction de la perpendiculaire) les données du problème;
(2) de déterminer, en expliquant le raisonnement, le lieu du point M1 lorsque l'on varie la position du sommet A, et de construire graphiquement le lieu de M1;
(3) de faire de même pour le lieu du point M2.
(1) Représentons les données du problème (pour la construction de la bissectrice et de la perpendiculaire aux instruments, se reporter aux rappels de cours ci-dessous).
(2) Les triangles CM2A et M1M2A sont des triangles isométriques. En effet, ce sont des triangles rectangles ayant un côté de l'angle droit en commun et l'angle de sommet A de même amplitude.
Par conséquent
et on en déduit que
On en conclut que M1 appartient au cercle de centre B et de rayon k.
Peut-on en déduire que ce cercle est le lieu cherché ? Il faut d'abord examiner comment A varie dans le plan, autrement dit, se poser la question du lieu de A.
Puisque dans le triangle ABC, le côté BC est fixe et la
différence des longueurs des deux autres côtés
est constante (égale à k), le point A se situe sur l'hyperbole dont les points B
et C sont les foyers et dont la constante est k. Plus précisément, A se situe
sur l'une des branches de cette hyperbole.
Traçons cette hyperbole (en bleu).
Lorsque A parcourt cette branche de l'hyperbole en s'éloignant de plus en plus, celui-ci s'approche de l'une des asymptotes de l'hyperbole (en pointillés mauve), et la direction de la droite BM1 tend vers celle de cette asymptote. La position "limite" de M1 est alors l'intersection du cercle avec la parallèle à l'asymptote passant par B. Notons E et F les points d'intersection des parallèles menées par B à chacune des asymptotes.
Le lieu cherché est donc l'arc du cercle de centre B et de rayon k, limité par les points E et F, comme montré sur le dessin ci-dessous, les extrémités de l'arc ne faisant pas partie du lieu.
NB: pour tracer l'hyperbole ainsi que ses asymptotes en utilisant les instruments, voir les rappels de cours ci-dessous.
(3) Les triangles CM2A et M1M2A étant des triangles isométriques,M2 est le milieu du segment [M1C]. On a ainsi la relation vectorielle:
Autrement dit, M2 est l'image de M1 par
l'homothétie de centre C et de rapport
.
Par conséquent, le lieu de M2 est l'image du lieu de M1
par cette homothétie, soit l'arc du cercle de centre O (milieu de [BC]) et
de rayon
,
limité par les points G et H, images respectives des point E et F par
l'homothétie. G et H sont les points d'intersection du cercle avec les
asymptotes et ne font pas partie du lieu.
Animation
Ci-dessous une animation (applet Java) réalisée à l'aide de Geogebra.
Visualisez les lieux générés de manière dynamique en faisant varier le point A à l'aide de la souris.
Pour réinitialiser l'applet, cliquez sur l'icône dans le coin supérieur droit:
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Bissectrice d'un angle - construction aux instruments |
La bissectrice d'un angle formé par deux demi-droites est la droite qui partage l'angle en deux angles de même amplitude.
Les points de la bissectrice d'un angle sont situés à égale distance des côtés de l'angle.
Construction
Soit un angle formé par deux demi-droites dont le sommet est S.
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Tracer un cercle de centre S |
Tracer 2 cercles de même rayon, |
La bissectrice est la droite SC. |
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Médiatrice d'un segment - construction aux instruments et applications |
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des extrémités du segment.
Il s'agit de la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu
Construction
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Pour tracer la médiatrice du segment [AB], tracer
deux arcs centrés en A de même rayon de part et d'autre du segment. Procéder de même pour le point B avec le même rayon que celui des arcs centrés en A. Les arcs se coupent en C et D. La droite CD est la médiatrice du segment [AB].
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Autres constructions en application
1) Construire le milieu d'un segment
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Pour construire le milieu d'un segment [AB], il
suffit de tracer la médiatrice du segment [AB]. Celle-ci coupe le segment en son milieu. |
2) Construire par un point donné la perpendiculaire à une droite donnée
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Pour construire par un point P donné la perpendiculaire à une droite donnée: tracer un cercle centré en P qui coupe la droite en deux points A et B. |
Construire ensuite la médiatrice du segment [AB]. La construction est valable si P est un point de la droite donnée. |
3) Construire par un point donné la droite parallèle à une droite donnée
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Par le point P donné, construire la perpendiculaire à la droite. Le point d'intersection est D. Par un point E de la droite donnée,
construire une autre droite perpendiculaire à la droite donnée. |
Tracer un arc de cercle de centre E et dont le rayon est la distance PD (distance de P à la droite donnée). Le point d'intersection de cet arc avec la perpendiculaire est Q. La droite PQ est la droite parallèle à la droite donnée. |
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Triangles isométriques (ou triangles égaux) |
Deux triangles sont isométriques (ou égaux) si
- ils ont leurs 3 côtés de même longueur 2 à 2.
- ils ont 2 de leurs côtés de même longueur 2 à 2 et l'angle compris entre ces côtés de même amplitude
- ils ont un de leurs côté de même longueur et les 2 angles adjacents à ce côté de même amplitude
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Hyperbole : définition et construction aux instruments et applications |
On appelle hyperbole le lieu géométrique des points du plan dont la différence des distances à deux points donnés (les foyers) est une constante.
(la constante est positive et elle est inférieure à la distance entre les foyers).
Construction à l'aide des instruments
Données : les foyers A et B, et une constante k.
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Tracer deux cercles dont les centres sont les foyers
et dont les rayons R sont égaux et deux autres cercles également centrés
aux foyers dont les rayons sont R+k. Les points d'intersection de chaque petit cercle avec chaque grand cercle sont des points de l'hyperbole (voir définition). L'hyperbole admet deux axes de symétrie (la droite passant par les foyers et la médiatrice du segment défini par les foyers).
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On recommence la construction précédente en faisant varier R. |
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Marquer les sommets (points
d'intersection avec la droite passant par les foyers), la distance entre
ces sommets est k. Il reste à relier les points obtenus pour obtenir le tracé de l'hyperbole. |
Tracer les asymptotes de l'hyperbole
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Lorsque l'hyperbole est tracée, on peut
construire ses asymptotes. Tracer le cercle dont le centre est le centre de l'hyperbole et qui passe par les foyers. Tracer par les sommets de l'hyperbole, tracer les droites perpendiculaires à la droite des foyers. Ces droites coupent le cercle en 4 points. Les asymptotes sont les prolongements des diagonales de ce rectangle. |
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Homothétie |
Si O désigne un point du plan et k un réel donné, on appelle homothétie de centre O et de rapport k, la transformation du plan qui applique tout point P sur le point P' tel que:
Une homothétie multiplie les distances par la valeur
absolue de k. Cela signifie que l'image d'un segment est un segment dont la
longueur est multipliée par
.
L'image d'un cercle est un cercle dont le rayon est
multiplié par
(et dont le centre est l'image par cette homothétie du centre du cercle de
départ).
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
(référence : Q169)Cette question résolue (bientôt disponible)
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Cours de soutien scolaire
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