|
[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] |
On considère la conique:
a) De quelle conique s'agit-il ? Esquisser sa représentation. b) Déterminer le lieu du milieu du segment MN, où M et N sont les
intersections d'une droite mobile passant par l'origine des axes et la conique.
(Ne pas considérer les cas éventuels où l'intersection serait autre qu'un couple
de points).
a) Cette conique est une parabole. En effet, son équation est celle du graphe d'une fonction du second degré. Pour la représenter facilement, il suffit de tracer le graphe de la fonction
définie par
b) Pour trouver l'équation de ce lieu, nous allons utiliser la
méthode des génératrices. En effet, ce lieu peut être considéré comme le lieu de
l'intersection de deux droites (les génératrices) : la droite mobile passant par
l'origine et la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le milieu
du segment MN.
Choix du paramètre Le coefficient angulaire m de la droite mobile passant par
l'origine est variable. Celui-ci sera donc le paramètre. Equation des génératrices 1) Soit d la droite mobile passant par
l'origine. Son coefficient angulaire étant m, son équation est:
2) Cette droite coupe la conique en deux points M et N. M et N sont les solutions du système formé par l'équation de la
droite et l'équation de la conique.
L'équation aux abscisses de M et N est alors:
Les abscisses de M et N vérifient donc cette équation du second degré. Calculons
son réalisant:
L'équation n'admet 2 solutions que si le réalisant est
strictement positif. Ce réalisant est également une expression du second degré
dont les racines sont 0 et 4, et son tableau de signe:
La droite d coupera la parabole en 2 points M et N que dans les
cas où
La droite parallèle à
l'axe des ordonnées et passant par le milieu du segment MN (la 2ème génératrice)
a pour équation:
où x1 et x2
sont les solutions de l'équation aux abscisses:
Appliquant la formule
de la somme des racines d'une expression du second degré, on obtient
immédiatement l'équation de la deuxième génératrice:
Le milieu du segment
MN vérifie donc le système d'équations:
avec
Elimination du paramètre Isolons m dans la deuxième équation du système:
Et remplaçons m par cette expression dans la première équation
du système:
Partie utile et partie parasite L'équation obtenue est celle du graphe d'une fonction du second
degré, donc une parabole. Cependant, nous devons éliminer la partie de cette
parabole (partie parasite) pour laquelle
Conclusion L'équation du lieu du milieu du segment MN est:
avec
Représentation
Calculons l'abscisse du sommet de la
parabole du lieu:
et son ordonnée:
Le sommet a pour coordonnée:
Animation Ci-dessous une animation (applet Java) réalisée à l'aide de
Geogebra. Visualisez le lieu généré de manière dynamique en faisant varier
m à l'aide du curseur. Pour réinitialiser l'applet, cliquez sur l'icône dans le coin
supérieur droit:
La représentation
graphique de la fonction du second degré d'équation : est une parabole qui a les caractéristiques suivantes : si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum) son axe de symétrie a pour équation : son sommet a pour coordonnée :
Graphe de f(x+k) à partir
du graphe de f
Il suffit de soustraire k à
l'abscisse de chaque point du graphe de f.
Lieu géométrique par la méthode des
génératrices Pour déterminer l'équation du lieu des points de
l'intersection de deux courbes mobiles (les génératrices du lieu), dont les
équations renferment le même paramètre, il suffit d'éliminer ce paramètres dans
les équations des génératrices. ler cas: la droite est parallèle à
l'axe y Dans ce cas, l'équation de la droite est:
où k est l'abscisse d'un point quelconque de la droite. 2ème
cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe y Dans ce cas, l'équation de la droite est du type:
a est appelé le coefficient angulaire de la droite. si a > 0 , la droite est croissante si a < 0 , la droite est décroissante si a = 0 , la droite est parallèle à l'axe x b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite: c'est
l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe y. Illustration
Equation d'une droite de coefficient
angulaire m et passant par le point A(xA,yA):
Points
d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou
courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites
ou courbes. La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer
cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle
équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par
la méthode adéquate. Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver
l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, on résout l'équation f(x)
= g(x). Pour résoudre l'équation : calculer son réalisant : - si r
> 0 , l'équation admet deux solutions : - si r =
0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques): - si r
< 0 , l'équation n'admet pas de solution Propriétés
de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré Dans le cas où l'expression du second degré admet deux racines x1 et x2, leur somme
est : et leur produit est: Coordonnée du milieu d'un segment Si A et B sont deux points du plan de coordonnée respective (xA,yA)
et (xB,yB), la coordonnée du milieu du segment [AB] est:
A télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question
résolue
(bientôt disponible)
Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois
Examen d'admission Université
Catholique de Louvain -
Géométrie analytique -
Question 1 - Juillet 2007 - Série 1
Enoncé:
![]()
Résolution
,
puis de tracer son image par la translation de vecteur (-1,0).

![]()


![]()

ou
.![]()
![]()
![]()

ou
.![]()
![]()

![]()
![]()

![]()

![]()
Rappels de cours concernant cette
question:
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)![]()
![]()


Equations des droites dans un repère cartésien
![]()
![]()

![]()
Résolution
dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
(référence : Q165)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du premier degré
(référence : F1)
définition, représentation, racine, signeLa fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitEquations des droites dans le plan
(référence F5)
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.Opérations avec les graphiques de fonctions
(référence F16)
à partir de graphe d'une fonction f, comment tracer le graphe des fonctions définies par f(x)+k, f(x+k), k.f(x), f(k.x), abs(f(x)). Illustrations graphiquesLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
|
Cours de soutien scolaire
|
Les news de Techno-science.net
|
|
[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] |
|
|