Enoncé:

a) Cette conique est une parabole.

En effet, son équation est celle du graphe d'une fonction du second degré.

Pour la représenter facilement, il suffit de tracer le graphe de la fonction définie par , puis de tracer son image par la translation de vecteur (-1,0).

b) Pour trouver l'équation de ce lieu, nous allons utiliser la méthode des génératrices.

En effet, ce lieu peut être considéré comme le lieu de l'intersection de deux droites (les génératrices) : la droite mobile passant par l'origine et la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le milieu du segment MN.

Choix du paramètre

Le coefficient angulaire m de la droite mobile passant par l'origine est variable. Celui-ci sera donc le paramètre.

Equation des génératrices

    1) Soit d la droite mobile passant par l'origine. Son coefficient angulaire étant m, son équation est:

    2) Cette droite coupe la conique en deux points M et N.

        M et N sont les solutions du système formé par l'équation de la droite et l'équation de la conique.

        L'équation aux abscisses de M et N est alors:

        Les abscisses de M et N vérifient donc cette équation du second degré. Calculons son réalisant:

        L'équation n'admet 2 solutions que si le réalisant est strictement positif. Ce réalisant est également une expression du second degré dont les racines sont 0 et 4, et son tableau de signe:

        La droite d coupera la parabole en 2 points M et N que dans les cas où ou .

        La droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le milieu du segment MN (la 2ème génératrice) a pour équation:

        où x₁ et x₂ sont les solutions de l'équation aux abscisses:

        Appliquant la formule de la somme des racines d'une expression du second degré, on obtient immédiatement l'équation de la deuxième génératrice:

        Le milieu du segment MN vérifie donc le système d'équations:

avec ou .

Elimination du paramètre

Isolons m dans la deuxième équation du système:

Et remplaçons m par cette expression dans la première équation du système:

Partie utile et partie parasite

L'équation obtenue est celle du graphe d'une fonction du second degré, donc une parabole. Cependant, nous devons éliminer la partie de cette parabole (partie parasite) pour laquelle

Conclusion

L'équation du lieu du milieu du segment MN est:

avec

Représentation

Animation

Ci-dessous une animation (applet Java) réalisée à l'aide de Geogebra.

Visualisez le lieu généré de manière dynamique en faisant varier m à l'aide du curseur.

Pour réinitialiser l'applet, cliquez sur l'icône dans le coin supérieur droit:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Rappels de cours concernant cette question:

La représentation graphique de la fonction du second degré d'équation :

est une parabole qui a les caractéristiques suivantes :

si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum)
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)

son axe de symétrie a pour équation :

son sommet a pour coordonnée :

Graphe de f(x+k) à partir du graphe de f

 

Il suffit de soustraire k à l'abscisse de chaque point du graphe de f.

Lieu géométrique par la méthode des génératrices

Pour déterminer l'équation du lieu des points de l'intersection de deux courbes mobiles (les génératrices du lieu), dont les équations renferment le même paramètre, il suffit d'éliminer ce paramètres dans les équations des génératrices.

Equations des droites dans un repère cartésien

l^er cas: la droite est parallèle à l'axe y

Dans ce cas, l'équation de la droite est:

où k est l'abscisse d'un point quelconque de la droite.

2^ème cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe y

Dans ce cas, l'équation de la droite est du type:

a est appelé le coefficient angulaire de la droite.

si a > 0 , la droite est croissante

si a < 0 , la droite est décroissante

si a = 0 , la droite est parallèle à l'axe x

b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite: c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe y.

Illustration

Equation d'une droite de coefficient angulaire m et passant par le point A(x_A,y_A):

Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, on résout l'équation f(x) = g(x).

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Propriétés de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré

Dans le cas où l'expression du second degré

admet deux racines x₁ et x₂, leur somme est :

et leur produit est:

Coordonnée du milieu d'un segment

Si A et B sont deux points du plan de coordonnée respective (x_A,y_A) et (x_B,y_B), la coordonnée du milieu du segment [AB] est:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q165)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Opérations avec les graphiques de fonctions
(référence F16)
à partir de graphe d'une fonction f, comment tracer le graphe des fonctions définies par f(x)+k, f(x+k), k.f(x), f(k.x), abs(f(x)). Illustrations graphiques

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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