Famille de coniques

Examen d'admission Université Libre de Bruxelles - Géométrie - Question 2 - Septembre 2006

Enoncé:

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes x et y, on donne les coniques d'équations respectives

a) Spécifiez la nature de ces deux coniques et représentez-les en prenant pour unité de mesure le cm.

b) Déterminez les coordonnées des points d'intersection des deux coniques.

c) Si λ est un paramètre réel, l'équation

représente une famille de coniques passant par les points d'intersection trouvés au 2).

Déterminez, parmi les coniques de la famille, celle qui passe par le point

Quelle est la nature de cette courbe? Dessinez-la.

Résolution

a) Nature des deux coniques et représentation

La première des deux coniques a pour équation:

Il s'agit du cercle de centre C(0,1) et de rayon 1.

La deuxième des deux coniques a pour équation:

Il s'agit de l'ellipse rapportée à ses axes de symétries (ce qui signifie que les axes de symétrie de l'ellipse sont les axes du repère) et dont les sommets sont (-1,0) , (1,0) , (0,2) et (0,-2).

b) Coordonnées des points d'intersection des deux coniques

Pour calculer les coordonnées des points d'intersection des deux coniques, il suffit de résoudre le système formé par leurs équations:

Soustrayons membre à membre les deux équations du système afin de faire disparaître les termes contenant l'inconnue x:

Factorisons cette équation et appliquons la règle du produit nul:

Remplaçons y par chacune des valeurs trouvées dans la deuxième équation et calculons x.

Pour la première valeur de y, nous obtenons:

Pour la deuxième valeur de y, nous obtenons:

Les deux coniques admettent donc 3 points d'intersection dont les coordonnées sont:

c) Détermination de la conique demandée

L'équation de la famille de coniques est:

Puisque la conique demandée passe par le point:

nous remplaçons x et y par ces valeurs dans l'équation de la famille de coniques:

Puisque nous avons trouvé la valeur de λ qui satisfait à la condition imposée, nous la remplaçons dans l'équation de la famille de conique. Nous obtenons ainsi l'équation de la conique demandée.

Cette courbe est une parabole: si nous isolons y, nous obtenons l'équation du graphe d'une fonction du second degré.

Son axe de symétrie est l'axe des y et son sommet est le point (0,2). Sa concavité est tournée vers le bas.

NB: en rouge le point par lequel la conique de la famille doit passer.

Rappels de cours concernant cette question:

Equation du cercle dans un repère orthonormé

Si (x_C, y_C) est la coordonnée du centre, et r le rayon, le cercle a pour équation:

Equation d'une ellipse rapportée à ses axes de symétrie dans un repère orthonormé

L'équation d'une ellipse rapportée à ses axes de symétrie dans un repère orthonormé (c'est-à-dire que ses axes de symétrie sont les axes du repère) est:

Ses sommets (les points d'intersection de l'ellipse avec les axes) sont : (-a,0), (a,0), (0,-b) et (0,b).

Représentation avec a=3 et b=2:

Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

1. Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2. Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Règle du produit nul

Règle du produit nul:

Cette règle est utilisée pour résoudre des équations dont le premier membre est factorisé et le deuxième membre égal à zéro.

La représentation graphique de la fonction du second degré d'équation :

est une parabole qui a les caractéristiques suivantes :

si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum)
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)

son axe de symétrie a pour équation :

son sommet a pour coordonnée :

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (disponible prochainement)
(référence : Q163)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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