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Examen d'admission Université Libre de Bruxelles - Géométrie - Question 3 - Septembre 2006

Enoncé:

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé d'origine O et d'axes x et y, on donne les points A(2,0) et B(3,2). Déterminez les coordonnées

a) de l'orthocentre du triangle OAB

b) du centre du cercle inscrit au triangle OAB

c) du centre de gravité du triangle OAB

Résolution

Commençons par représenter le triangle donné:

a) Calcul de l'orthocentre du triangle OAB

L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses trois hauteurs.

Chaque hauteur passe par un des sommets du triangle et est perpendiculaire au côté opposé.

Il suffit donc de rechercher l'équation de deux des hauteurs puis de calculer leur point d'intersection.

1) La hauteur issue de B(3,2) est perpendiculaire à OA, qui est sur l'axe x. Donc cette hauteur est parallèle à l'axe y et son équation est:

2) Recherchons l'équation de la hauteur issue de A. Elle est perpendiculaire à OB.

Le coefficient angulaire de la droite OB est:

Le coefficient angulaire de la hauteur issue de A est donc:

Puisque le point A(2,0) appartient à la hauteur issue de A, son équation est:

Il reste à calculer le point d'intersection des deux hauteurs, donc de résoudre le système:

En remplaçant x par sa valeur dans la deuxième équation, on obtient:

L'orthocentre a donc comme coordonnées:

Représentation: (en rouge les deux hauteurs calculées, et en pointillé la troisième hauteur; en pointillé bleu, le prolongement du côté AB)

b) Calcul du centre du cercle inscrit au triangle OAB

Le centre du cercle inscrit au triangle est le point d'intersection des trois bissectrices intérieures des angles déterminés par les côtés du triangle.

Il suffit donc de rechercher l'équation de deux de ces bissectrices puis de calculer leur point d'intersection.

Première méthode:

1) Recherchons l'équation de la bissectrice de l'angle AOB.

Soit m le coefficient angulaire de cette bissectrice, et α l'angle que forme cette droite avec l'axe x.

Nous avons donc:

Le coefficient angulaire de OB est 2/3 et l'angle formé par cette droite avec l'axe x est 2α. Nous avons donc:

Utilisons la formule de trigonométrie:

Résolvons l'équation du second degré obtenue:

Ces deux valeurs sont celles des coefficients angulaires des deux bissectrices de l'angle AOB. En observant la représentation, nous constatons que la bissectrice intérieure est croissante et donc que son coefficient angulaire est positif, c'est-à-dire:

La bissectrice intérieure de l'angle AOB passant par l'origine O, son équation est:

2) Recherchons l'équation de la bissectrice de l'angle BAO.

Soit m le coefficient angulaire de cette bissectrice, et α l'angle que forme cette droite avec l'axe x.

Nous avons donc:

Le coefficient angulaire de AB est:

 

L'angle formé par cette droite avec l'axe x est 2α. Nous avons donc:

Utilisons à nouveau la formule de trigonométrie:

Résolvons l'équation du second degré obtenue:

Ces deux valeurs sont celles des coefficients angulaires des deux bissectrices de l'angle BAO. En observant la représentation, nous constatons que la bissectrice intérieure est décroissante et donc que son coefficient angulaire est négatif, c'est-à-dire:

La bissectrice intérieure de l'angle BAO passant par A(2,0), son équation est:

Pour trouver le point d'intersection de ces deux bissectrices, nous devons résoudre le système formé par leurs équations:

Egalons les deux membres de droite et résolvons l'équation obtenue:

En remplaçant x dans la première équation du système, nous obtenons la valeur de y:

La coordonnée du centre du cercle inscrit est donc:

Deuxième méthode:

La bissectrice d'un angle est une droite dont chaque point est à égale distance des deux côtés du triangle.

1) Recherchons l'équation de la bissectrice de l'angle AOB.

Pour cela, recherchons l'équation des deux côtés de l'angle et écrivons celle-ci sous la forme ax+by+c=0 afin d'appliquer plus facilement la formule de la distance d'un point à une droite.

L'équation de OA est l'équation de l'axe x donc:

Pour l'équation de OB, nous avons déjà son coefficient angulaire calculé plus haut. Puisqu'elle passe par O, son équation est:

Ecrivons maintenant la condition pour qu'un point P(x,y) appartienne à la bissectrice de l'angle AOB:

Nous obtenons deux équations. Il s'agit de l'équation des deux bissectrices de l'angle AOB. Ecrivons-les sous la forme y=mx+p afin de sélectionner la bissectrice intérieure.

La bissectrice intérieure de l'angle AOB est croissante donc son coefficient angulaire est positif. Son équation est donc:

2) Recherchons l'équation de la bissectrice de l'angle BAO

Nous avons déjà l'équation de la droite OA: y=0.

Recherchons l'équation de la droite AB et calculons pour cela son coefficient angulaire:

Le point A(2,0) appartient à la droite AB. L'équation de la droite AB est:

Ecrivons maintenant la condition pour qu'un point P(x,y) appartienne à la bissectrice de l'angle BAO:

Nous avons donc l'équation des deux bissectrices de l'angle BAO. Ecrivons-les sous la forme y=mx+p:

La bissectrice intérieure de l'angle BAO est décroissante donc son coefficient angulaire est négatif. Son équation est donc:

Il reste à calculer le point d'intersection des deux bissectrices, donc de résoudre le système:

Egalons les deux membres de droite et résolvons l'équation obtenue:

En remplaçant x dans la première équation du système, nous obtenons la valeur de y:

La coordonnée du centre du cercle inscrit est donc:

Représentation (en rouge, les deux bissectrices et en pointillés, la troisième bissectrice):

c) Calcul du centre de gravité du triangle OAB

Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses trois médianes.

Première méthode

Il suffit donc de rechercher l'équation de deux de ces médianes puis de calculer leur point d'intersection.

Chaque médiane passe par un des sommets et le milieu du côté opposé.

1) Recherchons la médiane issue de B.

La coordonnée du milieu M de [O,A] est (1,0)

Le coefficient angulaire de MB est:

Le point M(1,0) appartient à la droite MB. L'équation de MB est:

2) Recherchons la médiane issue de O.

La coordonnée du milieu N de [A,B] est:

Le coefficient angulaire de NO est:

Puisque NO passe par l'origine, l'équation de NO est:

Il reste à calculer le point d'intersection des deux médianes en résolvant le système:

Egalons les membres de droite des deux équations du système et résolvons l'équation obtenue:

Remplaçons x par sa valeur dans la première équation:

La coordonnée du centre de gravité du triangle est donc:

Représentation (en rouge les deux médianes, et en pointillés, la troisième médiane):

Deuxième méthode

Nous utilisons la propriété qui dit que le centre de gravité d'un triangle se trouve aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.

Si N est le milieu de [A,B], cette propriété se traduit par la relation vectorielle:

La coordonnée de N est:

Si (x,y) désigne la coordonnée du centre de gravité, la relation vectorielle ci-dessus se traduit par:

La coordonnée du centre de gravité du triangle est donc:

Rappels de cours concernant cette question:

Equations des droites dans un repère cartésien

ler cas: la droite est parallèle à l'axe y

Dans ce cas, l'équation de la droite est:

où k est l'abscisse d'un point quelconque de la droite.

2ème cas: la droite n'est pas parallèle à l'axe y

Dans ce cas, l'équation de la droite est du type:

a est appelé le coefficient angulaire de la droite.

si a > 0 , la droite est croissante

si a < 0 , la droite est décroissante

si a = 0 , la droite est parallèle à l'axe x

b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite: c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe y.

Illustration

Equation d'une droite de coefficient angulaire m et passant par le point A(xA,yA):

Coefficient angulaire d'une droite passant par les points A(xA,yA) et B(xB,yB):

Coefficient angulaire de deux droites parallèles:

Si m et m' sont les coefficients angulaires des droites d et d':

Coefficient angulaire de deux droites perpendiculaires dans un repère orthonormé:

Si m et m' sont les coefficients angulaires des droites d et d':

Coefficient angulaire d'une droite formant un angle α avec l'axe x dans un repère orthonormé :

 

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé

Si d est une droite d'équation ax+by+c=0 et que P est un point de coordonnée (u,v) alors la distance du point P à la droite d est donnée par la formule:

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Si dans un repère les points A et B ont comme coordonnées respectives (xA,yA) et (xB,yB) alors le vecteur a comme coordonnées (ou composantes):

 

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (disponible prochainement)
(référence : Q162)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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