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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune Polytechnique+toutes armes – Algèbre Analyse – Question 2 - Série 3 (2001)

Enoncé:

Déterminer le quotient et le reste de la division de par

 

Résolution

Après avoir ordonné les termes du dividende suivant les puissances décroissantes de la variable s, nous effectuons la division euclidienne:

Le quotient de la division est donc:

et le reste est 1.

Autre méthode (méthode des coefficients indéterminés)

Le dividende étant de degré 3 et le diviseur de degré 1, le quotient est de degré 3 - 1 = 2 et le reste de degré 0, c'est-à-dire que le reste est un réel.

Soit le quotient et r le reste.

Nous avons la relation:

Effectuons les calculs du membre de droite et regroupons les termes de même puissance:

Les deux polynômes étant égaux, nous identifions les coefficients des termes de même puissance:

Nous obtenons un système de 4 équations à 4 inconnues que nous pouvons résoudre facilement par substitution.

De la première équation nous tirons:

De la deuxième équation:

De la troisième:

Et de la quatrième:

Le quotient est donc:

et le reste est:

Rappels de cours concernant cette question:

Division de deux polynômes

Diviser un polynôme P(x) (appelé le dividende) par un polynôme D(x) (appelé le diviseur), c'est déterminer les polynômes Q(x) (appelé de quotient) et R(x) (appelé le reste) tels que:

Lorsque R(x) = 0, on dit que le polynôme P(x) est divisible par le polynôme D(x). 

Egalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients respectifs des termes de même degré sont égaux.

Par exemple:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q157)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

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