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Résoudre dans les nombres complexes l’équation suivante :
Effectuons d'abord les calculs et regroupons les termes dans le membre de gauche:
Nous reconnaissons que l'équation donnée est une équation bicarrée.
Posons
L'équation s'écrit alors:
Résolvons cette équation du second degré, et pour cela calculons le réalisant:
Les solutions en t sont donc:
Pour chacune des valeurs de t, calculons les solutions en z:
Posons:
Nous devons donc rechercher les réels a et b tels que:
Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:
Remplaçons a dans la première équation du système et résolvons celle-ci:
Nous en déduisons que:
Puisque b est un réel, la deuxième équation n'a pas de solution et donc:
Les solutions en z sont donc:
Procédons de même pour l'autre valeur de t:
L'ensemble des solutions de l'équation donnée est:
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Calcul des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.
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Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |  |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q155)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexeLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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Cours de soutien scolaire
KeepSchool
Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
bureautique, de gestion/finance en ligne.
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