Enoncé:

On considère un véhicule qui, par exemple comme un tracteur, a typiquement des roues de diamètres différents à l’avant et à l’arrière. Le véhicule considéré effectue un trajet d’une longueur d. Au cours de ce trajet, les roues avant (de circonférence c₁) effectuent 3000 tours de plus que les roues arrière (de circonférence c₂).

Si les circonférences des deux roues étaient toutes deux augmentées de 0,5 m, les roues avant n’effectueraient plus que 2100 tours de plus que les roues arrière pour le même trajet.

Le problème est de déterminer les circonférences c₁ et c₂ des roues du véhicule. On vous demande, dans l’ordre : TOUT D’ABORD de bien poser le problème et le mettre en équation ; ENSUITE, de le résoudre ; et ENFIN, d’appliquer votre résultat au cas où d = 14 km.

Résolution:

Choix des inconnues

Soit :

c₁ la circonférence des roues avant (en m)

c₂ la circonférence des roues arrière (en m)

x le nombre de tours que fait la roue arrière pour parcourir la distance d (exprimée en mètres)

y le nombre de tours que fait la roue arrière si les circonférences des roues est augmentée de 0,5 m pour parcourir la même distance d

Mise en équation

Puisqu'il y a quatre inconnues, nous devons établir quatre équations.

1) La roue arrière de circonférence c₂ effectue x tours pour parcourir la distance d donc:

2) La roue avant de circonférence c₁ effectue x+3000 tours pour parcourir la distance d donc:

3) La roue arrière de circonférence c₂+0,5 effectue y tours pour parcourir la distance d donc:

4) La roue avant de circonférence c₁+0,5 effectue y+2100 tours pour parcourir la distance d donc:

Nous avons donc le système:

Résolution

Puisqu'on demande c₁ et c₂, nous devons éliminer x et y.

Nous isolons d'abord x dans la première équation:

Et nous remplaçons x par son expression dans la deuxième équation:

De même, isolons y dans la troisième équation:

Et nous remplaçons y par son expression dans la quatrième équation:

Il nous reste à résoudre le système de deux équations en c₁ et c₂ :

Isolons c₁ dans la première équation:

Et nous remplaçons c₁ par son expression dans la deuxième équation:

Résolvons cette équation qui ne contient plus que l'inconnue c₂.

Cette équation est une équation du second degré en c₂. Calculons le réalisant:

Le réalisant est un nombre strictement positif. L'équation admet donc deux solutions:

On ne retiendra parmi ces valeurs que celles qui sont positives puis ensuite nous calculons c₁ en remplaçant la valeur de c₂ dans la première équation.

Application numérique au cas où d = 14 km = 14000 m

La première de ces valeurs est:

Cette valeur étant négative est à rejeter.

La deuxième valeur est:

Calculons la valeur de c₁:

Rappels de cours concernant cette question:

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q154)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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