Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 2000)

Enoncé:

Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation suivante :

Résolution

Condition d'existence:

Pour neutraliser la puissance 6, nous utilisons successivement la fonction racine cubique puis la racine carrée. En effet la racine cubique est une fonction strictement croissante sur R et par conséquent, elle conserve l'ordre. L'inéquation donnée est équivalente à:

De même la fonction racine carrée est strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs. L'inéquation est équivalente à celle-ci:

Ecrivons l'inégalité obtenue sans valeur absolue:

Cette double inégalité peut être écrite sous la forme d'un système de deux inéquations:

Résolvons d'abord la première inéquation. Pour cela, nous ramenons tous les termes dans le même membre et nous réduisons au même dénominateur:

Racines du numérateur:

Racine du dénominateur:

Tableau de signe du premier membre de l'inéquation:

L'ensemble des solutions de la première inéquation est donc:

Résolvons maintenant la deuxième inéquation. Ramenons tous les termes dans le même membre et réduisons au même dénominateur:

Racines du numérateur:

Racine du dénominateur:

Tableau de signe du premier membre de l'inéquation:

L'ensemble des solutions de la deuxième inéquation est donc:

L'ensemble des solution du système (et donc de l'inéquation donnée) est l'ensemble des réels communs à S₁ et S₂.

Rappels de cours concernant cette question:

Définition de fonction strictement croissante (décroissante) sur un intervalle

f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I de réels si et seulement si

Une fonction strictement croissante sur un intervalle conserve l'ordre sur cet intervalle.

f est une fonction strictement décroissante sur un intervalle I de réels si et seulement si

Une fonction strictement décroissante sur un intervalle inverse l'ordre sur cet intervalle.

Inégalités et valeur absolue

Une inéquation rationnelle est une inéquation composée de fractions de polynômes. Voici la méthode de résolution:

	Ramener tous les termes dans un seul membre.
	Réduire, le cas échéant, les fractions au même dénominateur.
	Factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs du premier et du second degré.
	Rechercher les racines de chacun de ces facteurs.
	Etablir un tableau de signes de l'expression.
	Ecrire l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur le signe de l'expression.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q153)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

 

 

Cours de soutien scolaire KeepSchool KeepSchool Le spécialiste du soutien scolaire à domicile. Tous niveaux, toutes matières, partout en France. ToutApprendre Soutien scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de bureautique, de gestion/finance en ligne. Apprendre toutes les langues directement depuis son ordinateur avec la méthode Assimil OnLine pour seulement 49 € pour 12 mois. Plus de 300 cours disponibles

Les news de Techno-science.net

[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie analytique | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]

Hébergement de votre site  = 120 euro/an luxpixel.com