Enoncé:

Résolution

Tout d'abord, transformons les équations afin d'obtenir une égalité entre les puissances de p et de 2:

Pour neutraliser l'exponentielle en base 2, nous utilisons la fonction logarithme en base 2:

Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes:

Nous avons ainsi obtenu un système linéaire à deux inconnues x et y avec un paramètre p. Ecrivons les équations sous la forme ax + by = c:

Afin de déterminer le nombre de solutions du système d'après la valeur de p, nous calculons le déterminant du système:

Recherchons les valeurs de p qui annulent ce déterminant. Pour cela, nous posons:

Nous avons alors:

Cette expressions étant du second degré, nous calculons son réalisant puis ses racines:

Les valeurs de p correspondantes sont:

Nous avons alors également:

Revenons maintenant à la résolutions du système. Nous avons les cas suivants:

1er cas:

Le système admet un couple de solution unique. Calculons celui-ci:

 

L'ensemble des solutions du système est donc:

2ème cas:

 

1er cas:

Remplaçons la valeur de p dans le système:

Ces deux équations sont équivalentes. Le système est simplement indéterminé. Le système est équivalent à l'une des équations:

L'ensemble des solutions est:

2ème cas:

Le système est alors:

Ces deux équations sont incompatibles et le système n'admet pas de solution:

Tableau résumé de la discussion

Si		alors
Si		alors
Si		alors

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

• définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

• domaine de définition:

• règles de calcul:

Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants

La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.

La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.

Considérons le système suivant:

Calculer de déterminant D du système:

1er cas:

Calculer N_x, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:

Calculer de façon similaire N_y et N_z:

Le système admet une solution unique, le triplet:

2ème cas:

Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.

Calcul du déterminant d'une matrice

       Déterminant 2x2 (définition)

1.      Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2.   Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Factorisation de l'expression du second degré

-         si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x₁ et x₂ (voir ci-dessus) et

-         si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x₁et

-         si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q152)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

Résolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminants
(référence F20)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Résolution d'une équation avec des exponentielles
(référence F22)
Méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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