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Résoudre dans les réels l'équation:
où a est un paramètre réel.
Recherchons d'abord le domaine de l'équation. Conditions d'existence:
Nous remarquons que si a est strictement négatif, le domaine est vide et donc l'équation n'a pas de solution. Nous avons donc les cas suivants:
| Si |
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| Si |
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Dans ce cas, le domaine est réduit au seul réel 0, qui vérifie l'équation donc:
| Si |
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Le domaine se réduit à l'ensemble des réels vérifiant:
Pour résoudre l'équation, nous devons éliminer les radicaux. Nous allons donc élever les deux membres de l'équation au carré. Mais nous n'obtenons une équation équivalente que si les deux membres sont positifs. Pour cela nous écrivons l'équation sous la forme:
Nous allons à nouveau élever les deux membres au carré afin d'éliminer les radicaux. L'équation obtenue sera équivalente puisque les deux membres sont positifs, vu le domaine.
Nous pouvons mettre x en évidence puis appliquer la règle du produit nul:
Les deux solutions obtenues sont dans le domaine, donc l'ensemble des solutions est:
Tableau récapitulatif
| Si |
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alors |
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| Si |
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alors |
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| Si |
|
alors |
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Résolution d'une équation irrationnelle |
Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue apparaît sous un signe radical.
Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré (à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).
On utilise ainsi le principe d'équivalence:
Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient le même signe. La marche à suivre est la suivante:
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Rechercher le domaine de l’équation. |
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Isoler le radical dans un membre. |
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Rechercher la condition pour que les deux membres aient
le même signe. (rappel :
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Elever les deux membres au carré. |
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Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler celui-ci dans un membre et renouveler le procédé. |
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Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre l’équation obtenue. |
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Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et
celles qui ne vérifient pas les conditions. |
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Identités remarquables employées dans cette question |
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q150)Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré -
les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à
2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au
moyen d'exemples.
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désigne le nombre positif dont le carré est a)
