Examen d'admission Université Libre de Bruxelles  (Belgique)- Analyse – Question 2 (Septembre 1998)

Enoncé:

a)    Transformons d'abord f(x) afin de l'écrire sans valeur absolue:

si

si

Sur l'intervalle [0,2], on obtient le graphique suivant:

Puisque f est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine o. On obtient donc le graphique suivant sur [-2,2].

La longueur de cet intervalle est 4 et puisque la période de f est 4, nous avons dessiné le graphe de f sur une période. Pour obtenir le graphe complet, il suffit de reproduire cette portion indéfiniment.

b)    calcul de la première intégrale

Pour un calcul efficace, nous utilisons les propriétés de la fonction.

Pour plus de facilité dans l'écriture, posons:

Cette fonction est périodique de période 4 car

L'intégrale définie d'une fonction périodique sur un intervalle dont la longueur est la période de la fonction (ce qui est le cas ici), est constante quel que soit l'intervalle choisi.

On a donc:

la fonction g est impaire car

(car f est impaire et le cosinus de deux angles opposés est égal)

Par conséquent, vu l'interprétation géométrique de l'intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle, on obtient:

calcul de la deuxième intégrale

On a décomposé l'intégrale définie donnée en une somme d'intégrales définies sur des intervalles contigus de longueur 4 (la période de la fonction).

De cette façon, tous les termes valent 0 pour la même raison que ci-dessus, sauf le dernier qui est le seul à calculer. En observant le graphique, on voit que l'on peut décomposer ce dernier terme en une somme de deux termes, pour lesquels on peut déterminer l'expression de f(x).

Sur [1,6;3]

Sur [3;3,8], le graphe de f est un segment de droite passant par les points de coordonnée (3,-1) et (4,0).

L'équation de la droite est donc

d'où

Valeur absolue d'un réel

Fonction paire, impaire

     La fonction f est paire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = f(x)

Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Y.

     La fonction f est impaire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = -f(x)

Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O des axes.

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Fonction périodique et intégrale définie

On dit que la fonction f est une fonction périodique de période p s'il existe un réel p tel que la fonction vérifie l'égalité suivante, quel que soit x appartenant au domaine de la fonction:

Si f est une fonction périodique, alors l'intégrale définie de f sur tout intervalle dont la longueur est la période, est constante, donc
si b - a = d - c = période alors

Si f est une fonction impaire alors, quel que soit le réel a:

Propriétés des intégrales définies employées dans cette question

Equation d'une droite passant par deux points

L'équation d'une droite passant par

et

est :

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q15)

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Intégrale définie d'une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications: calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes  - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Equations des droites dans le plan
(référence F5)
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions

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