Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 2000 - série 2)

Enoncé:

Résolution

Remarquons tout d'abord que

L'équation peut donc se transformer de la façon suivante:

Ceci nous permet de factoriser le premier membre de l'équation par mise en évidence:

Appliquons la règle du produit nul:

Résolvons cette dernière équation. Il s'agit d'une équation du second degré sauf si p=-1. Nous avons donc:

Si

L'équation devient:

Si

L'équation est alors une équation du second degré. Calculons son réalisant:

Le réalisant est donc un nombre réel et les solutions de l'équation dépendent du signe de p.

Si

Les solutions de l'équation sont:

Si

Si

Tableau récapitulatif

Si		alors
Si		alors
Si		alors
Si		alors

Rappels de cours concernant cette question:

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de

c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

Ecrire le quotient de deux nombres complexes sous la forme a+bi

Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous la forme a+bi, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur.

Le complexe conjugué de a+bi est a-bi.

Exemple:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q149)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes -  représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

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