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Soit p un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres complexes, l'équation suivante (où i représente l'unité imaginaire):
Donner les solutions sous la forme a+bi (avec a et b réels).
Remarquons tout d'abord que
L'équation peut donc se transformer de la façon suivante:
Ceci nous permet de factoriser le premier membre de l'équation par mise en évidence:
Appliquons la règle du produit nul:
Résolvons cette dernière équation. Il s'agit d'une équation du second degré sauf si p=-1. Nous avons donc:
| Si |
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L'équation devient:
| Si |
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L'équation est alors une équation du second degré. Calculons son réalisant:
Le réalisant est donc un nombre réel et les solutions de l'équation dépendent du signe de p.
| Si |
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Les solutions de l'équation sont:
| Si |
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| Si |
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Tableau récapitulatif
| Si |
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alors |
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| Si |
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alors |
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| Si |
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alors |
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| Si |
|
alors |
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |  |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
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Ecrire le quotient de deux nombres complexes sous la forme a+bi |
Pour écrire un quotient de deux nombres complexes sous la forme a+bi, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur.
Le complexe conjugué de a+bi est a-bi.
Exemple:
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q149)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
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