Rappels de cours concernant cette question:

Domaine de définition d'une expression

Le domaine de définition d'une expression est l'ensemble des réels x en lesquels l'expression est définie.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.   L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Racine carrée positive d'un nombre réel

désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif ou nul.

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

Variation des fonctions exponentielles

Si

la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur R c'est-à-dire:

Autrement dit, cette fonction inverse l'ordre sur son domaine.

Si

la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur R c'est-à-dire:

Autrement dit, cette fonction conserve l'ordre sur son domaine.

Remarque:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q148)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Résolution d'une équation avec des exponentielles
(référence F22)
Méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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