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Résoudre dans les réels l'équation:
où log représente le logarithme dans la base 10.
Conditions d'existence:
Pour résoudre les conditions 2) et 4), nous avons utilisé le fait que la fonction exponentielle en base 10 est strictement croissante sur R et que par conséquent, elle conserve l'ordre.
Résolvons maintenant l'équation donnée. Appliquons la première règle de calcul:
Appliquons la définition du logarithme en base 10:
Appliquons la troisième règle de calcul:
Ceci nous permet de poser:
et d'obtenir ainsi une équation du second degré:
Effectuons les calculs et ramenons tous les termes dans le même membre:
Résolvons l'équation:
Nous pouvons maintenant calculer x:
La deuxième solution ne respecte pas les solutions et nous devons donc la rejeter. Nous en déduisons l'ensemble des solutions de l'équation donnée:
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Rappels sur les logarithmes en base a quelconque |
définition:
a étant un réel strictement positif et différent de 1:
règles de calcul:
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Variation des fonctions exponentielles et logarithmes |
| Si |
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la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur R c'est-à-dire:
la fonction logarithme de base a est strictement décroissante sur R0+c'est-à-dire:
Autrement dit, ces fonctions inversent l'ordre sur leur domaine.
| Si |
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la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur R c'est-à-dire:
la fonction logarithme de base a est strictement croissante sur R0+c'est-à-dire:
Autrement dit, ces fonctions conservent l'ordre sur leur domaine.
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Résolution d'une équation avec des logarithmes |
Après avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes ou d'une équation dont le premier membre peut se factoriser lorsque tous les termes ont été ramenés dans un seul membre.
On obtient ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.
Enfin, on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions de l’équation initiale.
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Résolution des inéquations
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Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q146)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitLes fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemplesLes équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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