Enoncé:

Résolution

Conditions d'existence:

Étant donné que ces expressions interviennent à plusieurs endroits, et dans le but de simplifier les équations, posons:

Le système s'écrit alors:

En remarquant que:

Le système devient:

Vu la première équation, nous pouvons encore remplacer la somme u+v par 1 dans la deuxième équation:

Nous devons donc trouver deux nombres dont la somme est 1 et le produit 1-m. Ce sont les solutions de l'équation:

Calculons le discriminant:

1er cas:

Les solutions de l'équation en t sont:

Ces deux valeurs de t sont les valeurs de u et v, solutions du systèmes. Elles doivent toutes deux être positives. La première l'est à l'évidence. Vérifions à quelle condition la deuxième valeur est positive:

Les deux membres de cette inéquation étant strictement positifs, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant chacun des membres au carré:

Nous avons donc les cas suivants:

1er cas:

Le système n'admet pas de solution et donc:

2ème cas:

Les solutions obtenues pour t sont toutes deux positives et sont les valeurs de u et v.

Puisque:

Pour obtenir les valeurs de x et y, nous devons élever au carré les valeurs obtenues pour u et v:

Les solutions du système sont les deux couples formés à l'aide de ces valeurs:

2ème cas:

Dans ce cas, l'équation admet la solution double:

Cette valeur positive est donc égale à chacune des valeurs de u et v.

Les valeurs de x et y sont donc égales à :

L'ensemble des solutions du système est donc constitué d'un seul couple:

3ème cas:

L'équation en t n'admet pas de solution et donc le système donné non plus:

Tableau résumé de la discussion

Si		alors
Si		alors
Si		alors
Si		alors

Rappels de cours concernant cette question:

1.      Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2.   Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Déterminer deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Les nombres dont la somme est s et le produit p sont les solutions de l'équation:

Cette équation n'admet des solutions que si le réalisant est positif ou nul, c'est-à-dire:

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q144)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

Hébergement de votre site  = 39 euro/an luxpixel.com