Résolution d'une équation avec logarithmes en base 10

Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)- Algèbre – Question 5 (Septembre 2000)

Enoncé:

Résoudre dans R l'équation:

Résolution

Conditions d'existence:

Multiplions les deux membres par le dénominateur:

Appliquons la troisième règle de calcul des logarithmes:

Par le principe d'équivalence de l'égalité de deux logarithmes de même base:

Développons le cube:

Nous pouvons diviser tous les termes par 15:

Nous obtenons une équation du second degré que nous résolvons:

Ces deux solutions vérifient les conditions d'existence et donc l'ensemble des solutions de l'équation est:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

règles de calcul:

Résolution d'une équation avec des logarithmes

Après avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes ou d'une équation dont le premier membre peut se factoriser lorsque tous les termes ont été ramenés dans un seul membre.

On obtient ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.

Enfin, on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions de l’équation initiale.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q143)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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