Système de 3 équations non linéaires à 3 inconnues avec deux paramètres

Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 2000)

Enoncé:

Résoudre dans R³, en discutant par rapport aux paramètres réels a et m, le système:

Résolution

Observons ce système: nous remarquons que la somme x + y intervient dans la première et la troisième équation et que nous pouvons aussi la faire apparaître dans la deuxième équation car:

Le système donné est donc équivalent à celui-ci:

Isolons la somme x+y dans la première équation et remplaçons-la dans les deux autres:

Divisons par 2 la deuxième équation et remplaçons-y le produit xy extrait de la troisième équation:

La deuxième équation ne contient plus que l'inconnue z. Résolvons-la:

Pour isoler z, nous devons diviser les deux membres par 2a-m, qui doit être non nul. Nous devons donc envisager les deux cas:

1^er cas:

Nous obtenons pour z:

Remplaçons z par l'expression obtenue dans la première équation:

Remplaçons également z dans la troisième équation:

Le système devient:

La première et la troisième équation ne contiennent plus que les inconnues x et y. Nous devons trouver x et y connaissant leur somme et leur produit. x et y sont donc les solutions de l'équation:

Pour résoudre cette équation du second degré, nous calculons son réalisant:

L'équation en t n'admet des solutions que si

et ces solutions sont:

L'ensemble des solutions du système est alors composé de deux triplets:

Dans le cas où:

l'équation en t n'admet pas de solution et le système donné non plus:

2^ème cas:

L'équation en z:

devient:

1^er cas:

L'équation en z n'admet pas de solution et le système donné non plus:

2^ème cas:

Toute valeur réelle est alors solution pour cette équation en z. Le système est indéterminé. Posons alors

Le système donné devient:

L'ensemble des solutions du système est alors:

Tableau résumé de la discussion

Si		alors
Si		alors
Si		alors
Si		alors

Rappels de cours concernant cette question:

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

1. Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2. Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Déterminer deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Les nombres dont la somme est s et le produit p sont les solutions de l'équation:

Cette équation n'admet des solutions que si le réalisant est positif ou nul, c'est-à-dire:

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q140)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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