Observons ce système: nous remarquons que la somme x + y intervient dans la
première et la troisième équation et que nous pouvons aussi la faire apparaître
dans la deuxième équation car:
Le système donné est donc équivalent à celui-ci:
Isolons la somme x+y dans la première équation et remplaçons-la
dans les deux autres:
Divisons par 2 la deuxième équation et remplaçons-y le produit
xy extrait de la troisième équation:
La deuxième équation ne contient plus que l'inconnue z.
Résolvons-la:
Pour isoler z, nous devons diviser les deux membres par 2a-m,
qui doit être non nul. Nous devons donc envisager les deux cas:
| 1er
cas: |
|
Nous obtenons pour z:
Remplaçons z par l'expression obtenue dans la première équation:
Remplaçons également z dans la troisième équation:
Le système devient:
La première et la troisième équation ne contiennent plus que les
inconnues x et y. Nous devons trouver x et y connaissant leur somme
et leur produit. x et y sont donc les solutions de l'équation:
Pour résoudre cette équation du second degré, nous calculons son
réalisant:
L'équation en t n'admet des solutions que si
et ces solutions sont:
L'ensemble des solutions du système est alors composé de deux
triplets:
Dans le cas où:
l'équation en t n'admet pas de solution et le système donné non
plus:
| 2ème
cas: |
|
L'équation en z:
devient:
| 1er
cas: |
|
L'équation en z n'admet pas de solution et le système donné non plus:
| 2ème
cas: |
|
Toute valeur réelle est alors solution pour cette équation en z.
Le système est indéterminé. Posons alors
Le système donné devient:
L'ensemble des solutions du système est alors:
Tableau résumé de la discussion
| Si |
 |
alors |
|
| Si |
 |
alors |
|
| Si |
 |
alors |
|
| Si |
 |
alors |
|
Rappels de cours concernant cette question:
|
 |
Principes d'équivalence des systèmes d'équations |
1.
Méthode de substitution
Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par
l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le
système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
2.
Méthode des combinaisons
Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du
système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
|
|
Résolution
dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r
> 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r =
0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r
< 0 , l'équation n'admet pas de solution
|
|
Déterminer deux nombres connaissant leur
somme et leur produit |
Les nombres dont la somme est s et le produit p sont les solutions de
l'équation:
Cette équation n'admet des solutions que si le réalisant
est positif ou nul, c'est-à-dire:
A
télécharger: format Microsoft Word compressé au format
.zip
Cette question résolue
(référence : Q140)
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Résolution d'un système de 2 équations du
1er degré
(référence
F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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