Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois
Examen d'admission Université Libre
de Bruxelles (Belgique)- Analyse – Question 1 (Septembre 1998)
Enoncé:
Calculer:
| a) |
 |
| b) |
 |
Résolution:
a) Remplaçons tan x et cos x en fonction de la tangente de
l'angle moitié en utilisant les formules de trigonométrie:
Effectuons la substitution classique:
On obtient:
Remarque: nous pouvons simplifier cette expression afin de
rappeler la forme de l'expression de l'énoncé:
(nous avons utilisé les formules de trigonométrie exprimant
cos 2a et une formule de Carnot)
(voir éventuellement les propriétés de la fonction logarithme
népérien)
Conclusion:
b) Effectuons la substitution suivante:
On obtient:
Poursuivons maintenant au moyen de la méthode par parties:
On obtient:
Rappels de cours concernant cette question:
|
Primitives
d'une fonction |
Si f est une fonction continue sur un intervalle I de réels, alors la fonction
F (définie sur cet intervalle I) est appelée une primitive de f
Si F est une primitive de f sur l'intervalle I, alors toute primitive de f
sur I est de la forme F + k où k est un réel.
L'ensemble des primitives de f se note:
|
|
Intégration
par substitution
|
Pour calculer
on peut poser:
avec
|
|
Intégration par parties |
|
|
Formules des dérivées employées
dans cette question |
|
|
Formules des primitives
employées dans cette question |
|
|
Formules de trigonométrie
employées dans cette question |
|
|
Propriété des logarithmes
népériens employée dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q14)
Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines,
trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes
et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations
avec les fonctions.
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties
- intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles
formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration
des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples -
calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils
pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples
résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages
La fonction logarithme népérien
(référence F15)
définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine
de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle
de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)
Hébergement de votre site =
1,75 EUR/mois
luxpixel.com
