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Calculer:
| a) |  |
| b) |  |
a) Remplaçons tan x et cos x en fonction de la tangente de l'angle moitié en utilisant les formules de trigonométrie:
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Effectuons la substitution classique:
On obtient:
Remarque: nous pouvons simplifier cette expression afin de rappeler la forme de l'expression de l'énoncé:
(nous avons utilisé les formules de trigonométrie exprimant cos 2a et une formule de Carnot)
(voir éventuellement les propriétés de la fonction logarithme népérien)
Conclusion:
b) Effectuons la substitution suivante:
On obtient:
Poursuivons maintenant au moyen de la méthode par parties:
On obtient:
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Primitives d'une fonction |
Si f est une fonction continue sur un intervalle I de réels, alors la fonction F (définie sur cet intervalle I) est appelée une primitive de f
Si F est une primitive de f sur l'intervalle I, alors toute primitive de f sur I est de la forme F + k où k est un réel.
L'ensemble des primitives de f se note:
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Intégration par substitution |
Pour calculer
on peut poser:
avec
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Intégration par parties |
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Formules des dérivées employées dans cette question |
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Formules des primitives employées dans cette question |
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Formules de trigonométrie employées dans cette question |
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Propriété des logarithmes népériens employée dans cette question |
à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q14)
Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pagesLa fonction logarithme népérien
(référence F15)
définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)
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