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Enoncé:

Déterminer la plus grande valeur de y qui satisfait (effectuer la représentation graphique):

Résolution

Résolvons chaque inéquation séparément:

Isolons y dans l'inéquation:

Représentons la droite a d'équation:

Pour cela, il suffit de calculer deux points:

L'ensemble des points vérifiant l'inéquation ont leur ordonnée inférieure à celle des points de la droite, autrement dit il s'agit de la partie du plan située sous la droite a.

Par convention, nous hachurons en rouge la partie du plan ne faisant pas partie de la solution. La droite a faisant partie de la solution, nous la représentons en vert.

Isolons y dans l'inéquation:

Représentons la droite b d'équation:

Calculons deux points:

L'ensemble des points vérifiant l'inéquation ont leur ordonnée inférieure à celle des points de la droite, autrement dit il s'agit de la partie du plan située sous la droite b. Celle-ci ne faisant pas partie de l'ensemble des solutions, nous la représentons en rouge.

Isolons y dans l'inéquation:

Représentons la droite c d'équation:

Calculons deux points:

L'ensemble des points vérifiant l'inéquation ont leur ordonnée inférieure à celle des points de la droite, autrement dit il s'agit de la partie du plan située sous la droite c. Celle-ci faisant partie de l'ensemble des solutions, nous la représentons en vert.

Isolons y dans l'inéquation:

Considérons la courbe d'équation:

y étant une fonction du second degré, il s'agit d'une parabole. Recherchons ses caractéristiques afin de la représenter.

Le coefficient de x2 étant 1, il est positif: la concavité est tournée vers le haut. Il s'agit d'une parabole à minimum.

L'axe de symétrie a pour équation:

Il s'agit aussi de l'abscisse du sommet. L'ordonnée du sommet est:

La coordonnée du sommet est donc:

Calculons quelques points:

Nous plaçons ces points ainsi que ceux obtenus par symétrie par rapport à l'axe.

L'ensemble des points vérifiant l'inéquation ont leur ordonnée inférieure à celle des points de la parabole, autrement dit il s'agit de la partie du plan située sous cette parabole. Celle-ci ne faisant pas partie de l'ensemble des solutions, nous la représentons en rouge.

L'ensemble des solutions du système est la partie du plan non hachurée, les bords en vert faisant partie de cette solution.

On demande la plus grande valeur de y satisfaisant le système. Il s'agit de l'ordonnée du point situé à l'intersection des droites a et c. Considérons le système formé par les équations de ces deux droites:

Puisque nous devons calculer y, nous isolons x dans la première équation et nous remplaçons dans la deuxième:

Résolvons la deuxième équation:

Rappels de cours concernant cette question:

La représentation graphique de la fonction du premier degré d'équation :

y = ax + b

est une droite. Cette droite passe par l'origine si b = 0.

- si le coefficient angulaire a > 0, la droite est strictement croissante
- si le coefficient angulaire a < 0, la droite est strictement décroissante
- si le coefficient angulaire a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses

La représentation graphique de la fonction du second degré d'équation :

est une parabole qui a les caractéristiques suivantes :

si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum)
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)

son axe de symétrie a pour équation :

son sommet a pour coordonnée :

 Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q138)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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