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Examen d'admission Université libre de Bruxelles (Belgique)-
Algèbre – Question 3 (Juillet 2000)
Enoncé:
Résoudre dans R:
Résolution
Conditions d'existence:
Appliquons la première règle de calcul des logarithmes:
Appliquons la définition des logarithmes en base 10:
Ramenons tous les termes dans le même membre et factorisons
celui-ci:
Appliquons la règle du produit nul:
Résolvons la première équation du second degré:
Ces deux solutions vérifient les conditions d'existence.
Résolvons la deuxième équation du second degré:
Le réalisant étant strictement négatif, cette équation n'admet
pas de solution dans l'ensemble des réels.
L'ensemble des solutions de l'équation donnée est donc:
Rappels de cours concernant cette question:
|
Rappels
sur les logarithmes en base a quelconque |
a étant un réel strictement positif et différent de 1:
|
|
Résolution
d'une équation avec des logarithmes |
Après
avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul
on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes ou d'une équation
dont le premier membre peut se factoriser lorsque tous les termes ont été
ramenés dans un seul membre.
On obtient
ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.
Enfin,
on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions
de l’équation initiale.
|
|
Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré
|
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r >
0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation
admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 ,
l'équation n'admet pas de solution
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q136)
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines,
factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines,
détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés
de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du
domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:
définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine
de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle
de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)
Résolution d'une équation
avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence
des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées
par des exemples
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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