|
|
|
[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie analytique | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] |
|
|
|
[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie analytique | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] |
Factoriser:
sachant que l'équation f(x) = 0
admet le nombre i comme racine double.
Puisque f(x) admet i comme racine double, f(x) est divisible par (x-i)2.
Effectuons la division de f(x) par x-i en utilisant la méthode de Horner:
Le quotient est donc:
et
Effectuons maintenant la division du quotient obtenu par x-i:
Le quotient est:
et nous obtenons:
f(x) étant un polynôme a coefficient réel, si f(x) admet un nombre complexe pour racine, alors le conjugué de celui-ci est également une racine du polynôme. Comme i est une racine double, son conjugué -i est également une racine double et f(x) est divisible par (x+i)2.
Effectuons la division du quotient obtenu précédemment par x+i:
Le quotient est:
et nous obtenons:
Effectuons à nouveau la division du quotient obtenu par x+i:
Le quotient est:
et nous obtenons:
Le quotient obtenu est un polynôme du second degré. Pour le factoriser, nous calculons ses racines:
La factorisation du trinôme est:
Et finalement, nous obtenons la factorisation complète de f(x):
Remarque: la factorisation obtenue est une factorisation à coefficients complexes. Pour une factorisation à coefficients réels, il faut multiplier entre eux les facteurs ayant pour racines des nombres complexes conjugués:
|
|
Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
 |
Division d'un polynôme par x - a |
Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a
Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner
La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.
Nous allons l'expliquer avec
et le diviseur
Nous construisons le tableau suivant:
La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.
Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:
Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:
On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):
Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:
La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.
|
|
Complexe conjugué d'un nombre complexe |
Le complexe conjugué de a+bi est le complexe a-bi.
|
|
Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution
|
|
Factorisation de l'expression du second degré |
- si r > 0, alors l'expression admet 2 racines x1 et x2 (voir ci-dessus) et
- si r = 0, alors l'expression admet 1 racine x1et
- si r < 0, alors l'expression n'admet pas de racine et ne se factorise pas.
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q135)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitDivision euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de HörnerLes nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
|
Cours de soutien scolaire
KeepSchool
Soutien
scolaire du CP à la Terminale, 12 matières, cours de langues, de
bureautique, de gestion/finance en ligne.
|
|
[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie analytique | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] |
|
|
