Résoudre dans R³, en discutant par rapport aux paramètres réels a et b, le système:

Ecrivons tout d'abord les conditions sur les paramètres:

En effet, le système donné n'a de sens que si ces conditions sont vérifiées.

Ecrivons maintenant les conditions que doivent vérifier les inconnues:

Observons le système donné. La première équation est une équation linéaire mais pas les deux autres. Puisque nous avons posé les conditions d'existence, la deuxième peut se ramener à une équation linéaire par inversion:

Quant à la troisième équation, nous allons réduire tous ses termes au même dénominateur:

Multiplions les deux membres par le dénominateur commun puis ramenons tous les termes dans le membre de gauche:

Ecrivons le système obtenu qui est maintenant un système linéaire:

Résolvons ce système.

Première méthode:

Puisque les coefficients des inconnues de deux des trois équations n'ont pas de paramètre, nous pouvons employer la méthode de Gauss. C'est-à-dire que dans un premier temps, puisque la deuxième équation ne contient pas l'inconnue z, nous isolons z dans la première équation, et nous le remplaçons dans la troisième.

Isolons z dans la première équation:

Remplaçons z dans la troisième et réduisons:

Le système obtenu est donc le suivant:

Dans un deuxième temps, nous isolons x dans la deuxième équation et pour le remplacer dans la troisième:

Remplaçons x dans la troisième équation et réduisons:

Le système obtenu est le suivant:

Nous ne pouvons isoler y dans la troisième équation que si son coefficient est non nul. Nous envisageons donc les deux cas:

1er cas:

Nous pouvons dans ce cas diviser les deux membres par le coefficient de y dans la troisième équation:

Factorisons le numérateur afin de simplifier la fraction:

Pour calculer x, remplaçons y dans la deuxième équation:

Pour calculer z, remplaçons x et y dans la première équation:

Nous avons donc:

Cependant, ces valeurs ne sont solutions du système donné que si elles vérifient les conditions d'existence:

Examinons la première condition:

Cette condition est donc vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Examinons la deuxième condition:

Cette condition est également vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Par conséquent, la solution trouvée est bien la solution du système donné et l'ensemble des solutions est l'unique triplet:

2ème cas:

Reprenons le système obtenu avant d'avoir envisagé le premier cas et effectuons le remplacement de a:

Ce système est vérifié par toutes les valeurs réelles pour y. L'inconnue x étant déjà exprimée en fonction de y, remplaçons x dans la première équation:

Le système est simplement indéterminé mais les inconnues doivent encore vérifier les conditions d'existence.

Examinons la première condition:

Cette condition est donc vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Examinons la deuxième condition:

L'ensemble des solutions du système s'écrit donc:

Tableau résumé de la discussion

Nous devons résoudre le système:

Nous utilisons cette fois la méthode des déterminants ou méthode de Cramer.

Calcul du déterminant du système:

Nous faisons apparaître un deuxième zéro dans la deuxième en ajoutant la première colonne à la deuxième colonne:

Nous pouvons calculer le déterminant en développant suivant la deuxième ligne:

Discussion du système

1er cas:

Calcul de x:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître un deuxième zéro dans la troisième ligne en ajoutant la troisième colonne à la deuxième:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la troisième ligne:

D'où:

Calcul de y:

Calcul du déterminant:

Faisons apparaître un deuxième zéro dans la deuxième ligne en soustrayant la première colonne multipliée par  2b à la deuxième colonne:

Nous pouvons mettre (a - b) en évidence dans la deuxième colonne:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la deuxième ligne:

D'où:

Calcul de z:

Calcul du déterminant:

Calculons ce déterminant en développant par rapport à la troisième colonne:

D'où:

Nous avons donc:

Cependant, ces valeurs ne sont solutions du système donné que si elles vérifient les conditions d'existence:

Examinons la première condition:

Cette condition est donc vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Examinons la deuxième condition:

Cette condition est également vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Par conséquent, la solution trouvée est bien la solution du système donné et l'ensemble des solutions est l'unique triplet:

Le système donné devient:

Puisque le paramètre b est non nul, nous pouvons diviser les termes de la troisième équation par -4b:

Isolons z dans la première équation et remplaçons dans la troisième:

Nous observons que les deux dernières équations sont équivalentes et que par conséquent, le système est indéterminé.

Exprimons les inconnues x et z en fonction de y. La deuxième équation donne:

Et en remplaçant dans la première:

Nous obtenons donc:

Mais les inconnues doivent encore vérifier les conditions d'existence.

Examinons la première condition:

Cette condition est donc vérifiée pour toutes les valeurs autorisées des paramètres.

Examinons la deuxième condition:

L'ensemble des solutions du système s'écrit donc:

Tableau résumé de la discussion