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Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 2000)

Enoncé:

Résoudre l'inéquation:

Résolution

Recherchons d'abord le domaine de cette inéquation:

Conditions d'existence:

Pour résoudre la première inéquation, cherchons d'abord les racines du numérateur et du dénominateur. Ensuite, nous réalisons le tableau de signe du membre de gauche.

Le domaine de l'inéquation donnée est donc l'ensemble:

Etudions maintenant le signe des deux membres de l'inéquation donnée. Le membre de gauche est une racine carrée positive, ce qui implique que x ne peut être négatif. Vu le domaine, l'ensemble des solutions sera donc une partie de l'ensemble:

Pour éliminer la racine, et puisque les deux membres sont positifs, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant chaque membre au carré:

Ramenons tous les termes dans un seul membre et réduisons les fractions au même dénominateur:

Pour réaliser le tableau de signe du membre de gauche, cherchons les racines du numérateur et du dénominateur.

Les racines du dénominateur sont évidentes:

Pour rechercher les racines du numérateur, nous devons résoudre une équation du troisième degré.

Cherchons d'abord une valeur qui vérifie cette équation: en remplaçant x par 2, nous constatons que cette valeur convient.

Le polynôme est donc divisible par x - 2. Calculons le quotient en utilisant la méthode de Horner.

Le quotient de la division du polynôme par x - 2 est donc:

L'équation du troisième degré s'écrit donc:

Résolvons l'équation du second degré:

Nous pouvons maintenant réaliser le tableau de signe de l'inéquation à résoudre:

L'expression doit avoir le signe négatif ou nul, mais nous devons sélectionner les valeurs de x de l'ensemble

L'ensemble des solutions de l'inéquation donnée est alors:

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un singe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

Domaine d'une expression, équation, inéquation...

Le domaine d'une expression est l'ensemble des réels pour lesquels elle peut être calculée.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de l'expression.

 Racine carrée positive d'un nombre réel


désigne le réel positif dont le carré vaut x. Il n'a de sens que si x est positif ou nul.

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

 Zéros d'une expression et règle du produit nul

Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Règle du produit nul:

Cette règle est utilisée pour résoudre des équations dont le premier membre est factorisé et le deuxième membre égal à zéro.

 Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :  

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q133)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Racines carrées d'un nombre réel
(référence : F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x2 = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications

Comment étudier le signe d'une expression
(référence : F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence : F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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