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Examen d'admission Université de
Liège (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre
2000)
Enoncé:
Discuter et résoudre le système
où a et b sont des paramètres réels.
Résolution
Puisqu'il s'agit d'un système de 2 équations à 3 inconnues, nous en extrayons
dans un premier temps un système de 2 équations à 2 inconnues et nous résolvons
celui-ci. Les solutions trouvées devront vérifier l'équation laissée de côté.
Nous choisissons le système formé des équations (1) et (3). Ainsi la discussion
de ce système ne se fera que sur le seul paramètre a. Soit donc à résoudre:
Isolons y dans la deuxième équation et remplaçons dans la
première:
La première équation ne contient plus que l'inconnue x.
Résolvons-la en isolant les termes en x dans le membre de gauche:
| 1er cas: |
 |
Dans ce cas, nous pouvons diviser les deux membres de l'équation
(*) par a(1-a) et nous obtenons la solution:
Portons cette valeur de x dans la deuxième équation du
sous-système pour calculer y:
Le sous-système admet donc le couple (0,a) pour solution unique.
Pour que cette solution soit solution du système donné, elle doit vérifier la
deuxième équation du système donné dans l'énoncé, sinon nous devons la rejeter:
c'est-à-dire
|
Si
|
|
|
Si
|
|
| 2è cas: |
 |
Le système donné dans l'énoncé est alors:
La première équation est vérifiée pour toute valeur de x et de
y. Elle est donc inutile. Le système à résoudre est donc:
Isolons y dans la deuxième équation et remplaçons dans la
première:
Discutons par rapport à la résolution de la première équation:
|
Si
|
|
Nous pouvons diviser les deux membres de la première équation
par le coefficient de x:
Le système admet donc une solution unique:
|
Si
|
|
Le système s'écrit:
La première équation étant vérifiée pour toute valeur de x,
l'ensemble des solutions du système s'écrit:
|
Si
|
|
Le système s'écrit:
La première équation étant impossible, l'ensemble des solutions
est:
| 3è cas: |
 |
Le système donné dans l'énoncé est alors:
La première équation étant identique à la troisième, le système
est équivalent au système à 2 équations suivant:
Isolons y dans la première équation et remplaçons dans la
deuxième:
Résolvons la deuxième équation en isolant x:
|
Si
|
|
Nous pouvons diviser les deux membres de la cette équation par
le coefficient de x:
Le système devient:
Le système admet donc une solution unique:
|
Si
|
|
Le système s'écrit:
La deuxième équation étant vérifiée pour toute valeur de x,
l'ensemble des solutions du système s'écrit:
Synthèse:
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Méthode de substitution |
La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer
cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle
équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par
la méthode adéquate.
A télécharger: format
Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q132)
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Résolution d'un système de 2
équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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