Enoncé:

Résoudre l'équation:

Suggestion: égaler les modules des deux membres pour déterminer IzI.

Résolution

Le module du membre de gauche est:

car le module du carré d'un nombre complexe est égal au carré du module de ce complexe puisque le module d'un produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules de ces deux complexes.

Le module du membre de droite est:

Egalons les modules des deux membres:

Il s'agit d'une équation bicarrée. Posons:

L'équation ci-dessus s'écrit alors:

Résolvons cette équation du second degré:

La deuxième solution est à rejeter puisque t est un réel positif. Nous obtenons ainsi la valeur du module de z:

L'équation à résoudre donnée dans l'énoncé devient donc:

Posons:

Nous cherchons donc les réels x et y tels que:

Isolons x dans la deuxième équation et remplaçons-le dans la première:

La première équation ne contient plus que l'inconnue y. Résolvons cette équation. Pour cela, nous multiplions les deux membres par y² (car y est non nul) puis nous regroupons tous les termes dans un membre:

L'équation obtenue est une équation bicarrée. Nous la ramenons au second degré en posant:

Résolvons cette équation:

La solution négative est à rejeter car u est un réel positif.

Nous en déduisons les valeurs de y:

Réécrivons le système:

Nous calculons x en remplaçant y dans la deuxième équation:

Conclusion: l'ensemble des solutions de l'équation donnée est:

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Module d'un nombre complexe

Considérons le nombre complexe:

Le module de z est défini par:

Dans le plan de Gauss, le module est la distance entre le point d'affixe z et l'origine du repère:

Calcul des racines carrées d'un nombre complexe

Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que

Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q130)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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