Examen d'admission Université Libre de Bruxelles  (Belgique)- Analyse – Question 3 (Juillet 1998)

Enoncé:

d)     Etablir le tableau des variations de f, f', et f'' contenant

	les racines de f, f' et f'' (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliser une décimale)
	les signes de f'(x) et f''(x)
	les extrema de f, les domaines de croissance et de décroissance de f
	les points d'inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f

e)     Tracer soigneusement la courbe C d'après les résultats de d)

où e est le nombre de Neper.

Résolution

a)     Pour vérifier si f est continue en x=0, nous calculons la limite de f en 0:

Cette dernière limite étant indéterminée, nous transformons le produit en un quotient afin d'appliquer le théorème de l'Hospital:

Finalement:

Conclusion: f est donc continue en 0

b)

calcul de f'

calcul de f''

c) Equation de la tangente à C au point d'abscisse 1

Nous utilisons la formule donnant l'équation de la tangente au point d'abscisse a:

d)

racines de f

NB: 0 est bien une racine de la fonction, bien que ln ne soit pas définie en 0 car f est définie en 0 dans l'énoncé et que f(0)=0.

racines de f'

NB: la valeur x = 0 n'est pas une racine de f' vu que ln(x) n'est pas défini en 0 mais cette valeur intervient dans l'étude du signe de f'.

racines de f''

signe de f'

signe de f''

tableau récapitulatif

Calcul de l'ordonnée du point d'inflexion:

e) Graphe

f) Tracé du graphe de g

On trace d'abord le graphe d'une fonction intermédiaire:

la fonction h est paire, donc son graphe est symétrique par rapport à l'axe Y; de plus cette fonction coïncide avec f lorsque x>0 (voir valeur absolue d'un réel). On obtient donc:

Pour tracer le graphe de g, il suffit d'ajouter e/2 à l'ordonnée de chaque point de h car

NB: cette fonction n'est pas définie en 0.

Rappels de cours concernant cette question:

Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien

la fonction f est continue en le réel a

(énoncé simplifié)

Formules des dérivées employées dans cette question

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Croissance, décroissance, extremum d'une fonction

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode:

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Fonction paire, impaire

     La fonction f est paire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = f(x)

Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Y.

     La fonction f est impaire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = -f(x)

Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O des axes.

Graphe de f+k à partir du graphe de f

Il suffit d'ajouter k à l'ordonnée de chaque point du graphe de f.

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q13)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Dérivée d'une fonction
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Opérations avec les graphiques de fonctions
(référence F16)
à partir de graphe d'une fonction f, comment tracer le graphe des fonctions définies par f(x)+k, f(x+k), k.f(x), f(k.x), abs(f(x)). Illustrations graphiques
 

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