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Résoudre le système et discuter le système
où a désigne un paramètre réel.
Pour résoudre ce système, nous utilisons la méthode des déterminants ou méthode de Cramer.
Calcul du déterminant du système:
Nous observons que nous pouvons mettre le facteur commun a en évidence dans la première ligne:
Nous pouvons encore mettre le facteur commun a en évidence dans la troisième colonne:
Maintenant, nous faisons apparaître deux zéros dans la première ligne en lui soustrayant la troisième:
Nous pouvons calculer le déterminant en développant suivant la première ligne:
Discussion du système
| 1er cas: |  |
Calcul de x:
Calcul du déterminant:
Nous pouvons mettre le facteur commun a en évidence dans la troisième colonne:
Faisons apparaître un zéro dans la troisième colonne en lui soustrayant deux fois la première colonne:
Factorisons les éléments de la troisième colonne et mettons le facteur commun a - 2 en évidence:
Faisons apparaître un deuxième zéro dans la troisième ligne en soustrayant la première colonne multipliée par a de la deuxième colonne:
Calculons ce déterminant en développant par rapport à la troisième ligne:
D'où:
Calcul de y:
Calcul du déterminant:
Nous pouvons mettre en évidence le facteur commun a dans la troisième colonne:
Faisons apparaître des zéros dans la première colonne en lui soustrayant la deuxième colonne:
Calculons ce déterminant en développant par rapport à la première colonne:
D'où:
Calcul de z:
Calcul du déterminant:
Faisons apparaître deux zéros dans la première colonne en lui soustrayant la deuxième:
Calculons le déterminant en le développant par rapport à la première colonne:
D'où:
La solution du système est donc le triplet unique (x, y, z).
| 2ème cas: |  |
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Le système donné devient:
La première équation est impossible par conséquent, le système n'admet aucune solution:
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Le système donné devient:
La première équation étant équivalente à la troisième, le système est équivalent au système de deux équations à trois inconnues suivant, que nous allons résoudre en fonction de z:
Pour cela, nous isolons x dans la dernière équation et nous le remplaçons dans la première:
Exprimons dans la première équation, y en fonction de z:
Le système devient:
L'ensemble des solutions s'exprime donc de la manière suivante:
Résumé de la discussion
| Si |  |
alors |
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| Si |
|
alors |
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| Si |
|
alors |
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Résolution d'un système linéaire de n équations à n inconnues en utilisant les déterminants |
La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de n équations à n inconnues avec coefficients paramétriques mais peut aussi bien sûr s'utiliser dans le cas de coefficients numériques.
La méthode décrite ci-dessous résout un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues mais peut se généraliser pour un système de n équations linéaires à n inconnues.
Considérons le système suivant:
Calculer de déterminant D du système:
| 1er cas: |
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Calculer Nx, le déterminant obtenu en remplaçant dans le déterminant du système la 1ère colonne par celle des termes indépendants:
Calculer de façon similaire Ny et Nz:
Le système admet une solution unique, le triplet:
| 2ème cas: |
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Dans ce cas, le système est impossible ou indéterminé. Le résoudre par les méthodes classiques de substitution ou d'addition.
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Calcul du déterminant d'une matrice |
Déterminant 2x2 (définition)
Déterminant 3x3
Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.
Définitions préalables
Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.
Exemple: le mineur de l'élément a23 est:
Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:
La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice.
On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :
Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.
Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.
Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.
Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas
En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque ci-dessus).
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q128)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemplesRésolution d'un système linéaire n x n par la méthode des déterminant
(référence F20)
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Cours de soutien scolaire
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