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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)-
Epreuve complémentaire Polytechnique – Algèbre Analyse Trigonométrie– Série 2 - Question
4 (2000)
Enoncé:
Résoudre dans C (avec i2 = - 1):
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chaque
solution.
Résolution
Effectuons d'abord les calculs et regroupons les termes dans le membre de
gauche:
Nous reconnaissons que l'équation donnée est une équation bicarrée.
Posons
L'équation s'écrit alors:
Résolvons cette équation du second degré, et pour cela calculons le
réalisant:
Les solutions en t sont donc:
Pour chacune des valeurs de t, calculons les solutions en x:
Posons:
Nous
devons donc rechercher les réels a et b tels que:
Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:
Remplaçons a dans la première équation du système et
résolvons celle-ci:
Il s'agit à nouveau d'une équation bicarrée, mais dans R
cette fois. Nous posons:
L'équation devient:
Cette dernière équation n'a pas de solution car b est un réel.
Les solutions en x sont donc:
Procédons de même pour l'autre valeur de t:
Posons:
Nous
devons donc rechercher les réels a et b tels que:
Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:
Remplaçons a dans la première équation du système et
résolvons celle-ci:
Nous obtenons la même équation en b que pour le calcul de la première valeur de
t. Les solutions pour b sont donc:
Les solutions en x sont donc:
L'ensemble des solutions de l'équation donnée est:
Rappels de cours concernant cette question:
|
 |
Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
|
|
Calcul
des racines carrées d'un nombre complexe |
Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à
rechercher les réels x et y tels que
Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de
vue que x et y sont des réels.
|
|
Résolution
dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré |
Pour résoudre l'équation :
calculer son réalisant :
- si r
> 0 , l'équation admet deux solutions :
- si r =
0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
- si r
< 0 , l'équation n'admet pas de solution
|
|
Résolution de l'équation
du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |
 |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q96)
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux
nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique
et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de
Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les
équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:
règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes
d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les
équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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