Utilisons la troisième règle de calcul des logarithmes:

Factorisons le membre de gauche par mise en évidence:

Appliquons la règle du produit nul:

Pour résoudre cette dernière équation, nous effectuons en changement de variable en posant:

Nous obtenons ainsi une équation du second degré:

Résolvons cette équation:

Les solutions en t sont:

Calculons les solutions en x:

L'ensemble des solutions de l'équation donnée est donc:

Rappels de cours concernant cette question:

Rappels sur les logarithmes en base a quelconque

• définition:

a étant un réel strictement positif et différent de 1:

• règles de calcul:

Résolution d'une équation avec des logarithmes

Après avoir déterminé le domaine de l’équation, en utilisant les règles de calcul on se ramène si possible à l’égalité de deux logarithmes ou d'une équation dont le premier membre peut se factoriser lorsque tous les termes ont été ramenés dans un seul membre.

On obtient ainsi une équation algébrique qu’il reste à résoudre.

Enfin, on vérifie si les solutions obtenues sont dans le domaine et donc bien des solutions de l’équation initiale.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q124)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Les fonctions logarithmes
(référence F15)
fonction logarithme népérien: définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul - fonctions logarithmes en base a quelconque:  définition, représentation graphique, propriétés de la fonction (domaine de définition, croissance, limites aux bornes du domaine, dérivée), règle de calcul, propriété (lien avec exponentielle népérienne)

Résolution d'une équation avec logarithmes
(référence F21)
Rappels des définitions, domaine, règles de calcul, principes d'équivalence des logarithmes en base a et népérien - méthodes de résolution illustrées par des exemples

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

 

 

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